Problem B. 4453. (May 2012)

B. 4453. With three planes, a cuboid T is divided into eight smaller cuboids. The small cuboids are coloured black and white such that adjacent pieces have different colours. Given that the sum of the volumes of the white cuboids equals the sum of the volumes of the black cuboids, show that one of the planes halves the volume of T.

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nyilván mindhárom sík párhuzamos a téglatest valamelyik lapjával, de semelyik kettő sem párhuzamos egymással, mert akkor 8-nál kevesebb rész keletkezne. A téglatest három egymásra merőleges élének hossza legyen a,b,c. Tegyük fel, hogy ezeket a három sík rendre x:x', y:y', illetve z:z' arányban osztja, ahol x+x'=y+y'=z+z'=1. Az egyik színű téglák térfogatának összege

(ax)(by)(cz)+(ax')(by')(cz)+(ax')(by)(cz')+(ax)(by')(cz'),

míg a másik színűeké

(ax')(by)(cz)+(ax)(by')(cz)+(ax)(by)(cz')+(ax')(by')(cz').

A feltétel szerint e kettő egyenlő. Egyszerűsítés és rendezés után az

xyz-x'yz-xy'z-xyz'+x'y'z+x'yz'+xy'z'-x'y'z'=0

egyenletet kapjuk. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva (x-x')(y-y')(z-z')=0, ahonnan x=x', y=y' vagy z=z' adódik, ami azt jelenti hogy rendre az a, b, vagy c hosszú élekre merőleges sík a T téglatestet két egybevágó téglára osztja.

Statistics:

81 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Medek Ákos, Mihálykó András, Nagy-György Pál, Ódor Gergely, Öreg Botond, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szekeres Ágnes, Zilahi Tamás.
3 points:	39 students.
2 points:	6 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012