Problem B. 4459. (May 2012)
B. 4459. For x>1, let A(x) denote the sum of reciprocals of the positive square-free numbers less than x, and let B(x) denote the sum of reciprocals of the non-square-free positive numbers less than x. Prove that A(x)>B(x).
Suggested by P. Maga)
(4 pont)
Deadline expired on June 11, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen n egy pozitív nem-négyzetmentes szám. Ekkor egyértelműen létezik egy 1-nél nagyobb, de -nél nem nagyobb k egész szám és egy m pozitív négyzetmentes szám úgy, hogy n=k2m. Megfordítva, egy k2m alakú szám, ahol m pozitív négyszetmentes szám, k pedig 1-nél nagyobb egész szám, mindig pozitív nem-négyzetmentes szám lesz. Ennélfogva felírható, hogy
ahol N1 a -nél kisebb egész számok közül a legnagyobbat jelöli. Felhasználva, hogy 1<y<x esetén 1A(y)A(x),
Statistics:
17 students sent a solution. 4 points: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Di Giovanni Márk, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Tossenberger Tamás. 3 points: Énekes Tamás. 2 points: 1 student. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012