Problem B. 4476. (October 2012)

B. 4476. Prove that there are infinitely many ways to express 169 as a sum of the squares of two rational numbers.

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Pitagoraszi számhármasok.

Megoldás: Tekintsük az a=2k+1, b=2k²+2k, c=2k²+2k+1 számokat, ahol k pozitív egész szám; ekkor a²+b²=c². Az a és c számok relatív prímek, hiszen ha d mindkettőnek osztója, akkor osztója a c-ka=k+1 számnak, és ennélfogva 2(k+1)-a=1-nek is. Továbbá a<b, így az (a/c)²+(b/c)²=1 előállítások mind különbözőek. Ennélfogva a

$169=\left(\frac{13(2k+1)}{2k^2+2k+1}\right)^2+ \left(\frac{13(2k^2+2k)}{2k^2+2k+1}\right)^2$

felírásokkal a 169-et végtelen sokféleképpen felbontottuk két racionális szám négyzetének összegére.

Statistics:

175 students sent a solution.

4 points: 83 students.

3 points: 35 students.

2 points: 9 students.

1 point: 6 students.

0 point: 42 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012

175 students sent a solution.
4 points:	83 students.
3 points:	35 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	42 students.

Already signed up?
New to KöMaL?