Problem B. 4479. (October 2012)

B. 4479. In an isosceles triangle ABC, D and E denote points on the legs AB and AC, respectively, such that AD=BC=EC. What may be the measure of the angle at vertex A if triangle ADE is isosceles?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Három eset van.

Megoldás: Három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy az ADE háromszög mely két oldaláról tesszük fel azt, hogy azok egyenlők. Először tegyük fel, hogy AD=AE. Ekkor AB=AC=2BC, vagyis sin ( $\alpha$ /2)=1/4, ahonnan $\alpha=2\arcsin\frac{1}{4}\approx 29^\circ$ , hiszen $\alpha$ /2 hegyesszög. Fordítva, ha sin ( $\alpha$ /2)=1/4 teljesül, akkor D és E a két szár felezőpontja lesz és AD=AE is teljesül.

Legyen most AE=ED. Mivel DB=AE, a BDE háromszög is egyenlő szárú. Mivel $BDE\sph=180^\circ-\alpha$ , kapjuk hogy $DBE\sph=\alpha/2$ . A BCE egyenlő szárú háromszögben $BCE\sph=90^\circ-\alpha/2$ , ezért $EBC\sph=45^\circ+\alpha/4$ . Következésképpen

$90^\circ-\alpha/2=ABC\sph=DBE\sph+EBC\sph=45^\circ+3\alpha/4,$

ahonnan $\alpha$ =36^o. A gondolatmenet megfordításával könnyen belátható, hogy $\alpha$ =36^o esetén valóban teljesül AE=ED. Az ellenőrzésre egy másik lehetőséget kínál az alábbi szabályos ötszög ábrája.

A legnehezebb az AD=DE eset vizsgálata. Először megmutatjuk, hogy ebben az esetben szükségképpen $\alpha$ =20^o. Az ábra jelöléseivel

$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2(a+x)},\qquad \frac{x}{2a}=\cos\alpha= 1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}=1-\frac{a^2}{2(a+x)^2}.$

Innen x(a+x)²=2a(a+x)²-a³, átrendezve x³-3a²x=a³. Ezt 2a³-bel leosztva a

$4\cdot\left(\frac{x}{2a}\right)^3-3\cdot\frac{x}{2a}=\frac{1}{2}$

egyenlőséghez jutunk, ahonnan 4cos³ $\alpha$ -3cos $\alpha$ =1/2. Felhasználva, hogy cos 3 $\alpha$ =4cos³ $\alpha$ -3cos $\alpha$ kapjuk, hogy cos 3 $\alpha$ =cos 60^o. Mivel BC<AB miatt $\alpha$ <60^o, innen $\alpha$ =20^o adódik. Be kell látnunk még, hogy ez az eset is előfordulhat. Ehhez rögzítsük a B,C csúcsokat, az A csúcsot pedig mozgassuk a BC szakasz felező merőlegesén a BC egyenes valamelyik rögzített oldalán. Kiindulási helyzetként tekintsük az 1. esetet, ekkor DE=BC/2. Végső esetként tekintsük azt, amikor az A pont távolsága a BC egyenestől éppen 3BC; ekkor nyilván DE>BC. Mivel a DE szakasz hossza eközben folytonosan változik, kell legyen egy helyzet, amikor DE=BC=AD. A fentiek értelmében az $\alpha$ szög ekkor csakis 20^o-os lehet.

Összefoglalva, a feladatnak három kölönböző megoldása van; az A csúcsnál lévő szög nagyságának lehetséges értékei

$\alpha_1=2\arcsin\frac{1}{4}\approx 29^\circ,\quad \alpha_2=36^\circ,\quad \alpha_3=20^\circ.$

Statistics:

163 students sent a solution.

6 points: 68 students.

5 points: 10 students.

4 points: 40 students.

2 points: 38 students.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012

163 students sent a solution.
6 points:	68 students.
5 points:	10 students.
4 points:	40 students.
2 points:	38 students.
0 point:	7 students.

Already signed up?
New to KöMaL?