Problem B. 4484. (November 2012)

B. 4484. Prove that the equation $1+2+2^{2}+\ldots +2^{x}=y^{z}$ has no solution of positive integers x, y, z where z>1.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: 2^x+1=y^z+1.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az x,y,z pozitív egész számokra $1+2+2^{2}+\ldots +2^{x}=y^{z}$ teljesül. Ekkor 2^x+1-1=y^z. A bal oldalon álló szám páratlan, sőt 4-gyel osztva 3 maradékot ad. Ezért y is páratlan. Sőt, z is páratlan, hiszen ha páros lenne, akkor a jobb oldalon egy páratlan szám négyzete állna, ami 4-gyel osztva 1 maradékot ad. Ezért felírható, hogy

2^x+1=y^z+1=(y+1)(y^z-1-y^z-2+...-y+1).

A jobb oldalon mindkét tényező 2-nek nemnegatív egész kitevős hatványa kell legyen. Jegyezzük meg, hogy y $\ne$ 1. Ezért z>1 esetén

y^z-1-y^z-2+...-y+1=(y-1)(y^z-2+y^z-4+...+y)+1

egy 1-nél nagyobb páratlan szám lenne, ami nem lehetséges.

Statistics:

121 students sent a solution.

5 points: 71 students.

4 points: 8 students.

3 points: 3 students.

2 points: 7 students.

1 point: 5 students.

0 point: 25 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012

121 students sent a solution.
5 points:	71 students.
4 points:	8 students.
3 points:	3 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	25 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?