Problem B. 4487. (November 2012)

B. 4487. Is there a plane that does not pass through any vertex of a regular octahedron but intersects all the faces?

Suggested by V. Vígh, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Bontsuk fel az oktaéder éleit három négyzetre.

Megoldás: Tegyük fel, hogy van egy ilyen S sík. Ez mind a 8 lapnak pontosan 2 élét metszi (egy-egy belső pontban). Mivel minden él két laphoz tartozik, S az oktaéder 12 éle közül pontosan 8-at metsz. A 12 élet 3 darab 4-elemű csoportba oszthatjuk a következő módon. Tekintsük valamelyik szemközti csúcspárt. Ebből a 2 csúcsból összesen 8 él indul ki; a maradék 4 él egy négyzetet határol. Így 3 négyzetet kapunk úgy, hogy az oktéder minden éle ezek közül pontosan egynek lesz oldala. Az S sík, mely a négyzeteknek egyetlen csúcsán sem megy át, minden egyes négyzetnek 0 vagy 2 élét metszi, ami azt jelenti, hogy a 12 él közül legfeljebb 6-ot metsz, ami ellentmondás. Ilyen sík tehát nem létezhet.

Statistics:

80 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Barna István, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bogáromi Dávid, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kovács 101 Dávid Péter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Medek Ákos, Nagy Róbert, Németh Gergely, Paulovics Zoltán, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:	17 students.
3 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	18 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012