Problem B. 4488. (November 2012)

B. 4488. Show that 168 cannot be expressed as the sum of the squares of two rational numbers.

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: 3-mal való oszthatóság.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben 168=(p/q)²+(r/s)² teljesül alkalmas p,q,r,s egész számokkal, ahol q,s0. Ekkor 168(qs)²=(ps)²+(rq)², ahol qs0, vagyis a ps, rq számok közül legalább az egyik nem 0. Ezen számok legnagyobb közös osztójának négyzetével leosztva kapjuk, hogy alkalmas a,b,c egész számokkal 168c²=a²+b², ahol a és b relatív prímek. A jobb oldalon álló szám 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad aszerint, hogy az a,b számok között van-e 3-mal osztható vagy sem. A bal oldalon álló szám azonban osztható 3-mal, ami ellentmondás.

Statistics:

143 students sent a solution.
4 points:	81 students.
3 points:	9 students.
2 points:	8 students.
1 point:	18 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012