Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4492. (December 2012)

B. 4492. Prove that if the natural numbers a and b only differ in the order of their digits then the sum of the digits in the numbers 5a and 5b is the same.

Kvant

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Hogy számolnánk ki írásban?

Megoldás: Legyen a=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}. Ekkor 5a számjegyeinek összege f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_n), ahol f(0)=0,f(1)=5,f(2)=1,f(3)=6,f(4)=2,f(5)=7,f(6)=3,f(7)=8,f(8)=4 és f(9)=9. Ez az eredmény pedig nyilván nem függ az a szám jegyeinek sorrendjétől.

A fenti képletet könnyen igazolhatjuk n szerinti indukcióval. Ha n=0, akkor az állítás nyilván igaz. Legyen tehát n\ge1, és tegyük fel hogy (n-1)-re az állítás már igazolást nyert. Nyilván 5a=5an.10n+5a', ahol a'=\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_0}. Mivel a'<10n, 5a'<5.10n. Ezért 5a' vagy egy legfeljebb n-jegyű szám (a 0-t is ideértve), vagy egy olyan (n+1)-jegyű szám, melynek első számjegye nem nagyobb, mint 4. Az első esetben az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an szám után (szükség szerint megfelelő számú 0-val elválasztva) leírjuk az 5a' számot. A számjegyek összegét s-sel jelölve, az indukciós feltevés szerint

s(5a)=s(5a_n)+s(5a')=f(a_n)+s(5a')=f(a_n)+ \big(f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_{n-1})\big),

ahogyan azt állítottuk. A második esetben - az 5a' szám első jegyét e-vel jelölve -, az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an+e szám után leírjuk az 5a' szám fennmaradó n számjegyét. Mivel e\le4, 5an utolsó számjegye pedig 0 vagy 5, s(5an+e)=s(5an)+e. Ezért ismétcsak s(5a)=s(5an+e)+(s(5a')-e)=s(5an)+s(5a').

Statistics:

170 students sent a solution.
3 points:74 students.
2 points:36 students.
1 point:41 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012