Problem B. 4495. (December 2012)
B. 4495. Given the parallelogram ABCD and points F and G, such that AF=FC, BG=GD and given that triangles AFC and BGD are similar, prove that the line FG is perpendicular to a side of the parallelogram.
Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Útmutatás: Milyen forgatva nyújtás viszi az AC szakaszt az AF szakaszba? (Kiszámolhatjuk komplex számokkal is.)
Megoldás: Az átlók metszéspontját jelölje M. Az F pont az AC átló, G pedig a BD átló felező merőlegesén helyezkedik el. Mivel FM:MC=GM:MD, az FMG háromszöget az M pontból alkalmas nagyítással egy olyan F'MG' háromszögbe vihetjük, melyre F'M=MC és G'M=MD. Ekkor F'G' párhuzamos FG-vel, ezért elég azt igazolni, hogy az F'G' egyenes merőleges a parallelogramma egyik oldalára. Másképp fogalmazva, elegendő a feladat állítását az FM=MC, GM=MD feltétel mellett bizonyítani.
Szimmetria okok miatt elég két esetet megkülönböztetni. Az egyik eset látható az ábrán, a másik esetben G helyett annak M-re vett tükörképével kell dolgozni. Az ábrán látható esetben az FMG háromszöget megkaphatjuk a CMD háromszögből, azt M körül pozitív irányban 90o-os szöggel elforgatva. Ezért ekkor FG merőleges a CD oldalra. A másik esetben az FMG háromszöget úgy kapjuk meg, hogy az AMD háromszöget forgatjuk el M körül negatív irányban 90o-os szöggel, így ekkor FG az AD oldalra lesz merőleges.
Statistics:
114 students sent a solution. 5 points: 73 students. 4 points: 36 students. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012