Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4495. (December 2012)

B. 4495. Given the parallelogram ABCD and points F and G, such that AF=FC, BG=GD and given that triangles AFC and BGD are similar, prove that the line FG is perpendicular to a side of the parallelogram.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Milyen forgatva nyújtás viszi az AC szakaszt az AF szakaszba? (Kiszámolhatjuk komplex számokkal is.)

Megoldás: Az átlók metszéspontját jelölje M. Az F pont az AC átló, G pedig a BD átló felező merőlegesén helyezkedik el. Mivel FM:MC=GM:MD, az FMG háromszöget az M pontból alkalmas nagyítással egy olyan F'MG' háromszögbe vihetjük, melyre F'M=MC és G'M=MD. Ekkor F'G' párhuzamos FG-vel, ezért elég azt igazolni, hogy az F'G' egyenes merőleges a parallelogramma egyik oldalára. Másképp fogalmazva, elegendő a feladat állítását az FM=MC, GM=MD feltétel mellett bizonyítani.

Szimmetria okok miatt elég két esetet megkülönböztetni. Az egyik eset látható az ábrán, a másik esetben G helyett annak M-re vett tükörképével kell dolgozni. Az ábrán látható esetben az FMG háromszöget megkaphatjuk a CMD háromszögből, azt M körül pozitív irányban 90o-os szöggel elforgatva. Ezért ekkor FG merőleges a CD oldalra. A másik esetben az FMG háromszöget úgy kapjuk meg, hogy az AMD háromszöget forgatjuk el M körül negatív irányban 90o-os szöggel, így ekkor FG az AD oldalra lesz merőleges.


Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:73 students.
4 points:36 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012