Problem B. 4496. (December 2012)
B. 4496. An absent minded professor is travelling in a train along a subway line having infinite length in both directions. He would like to get from Alpha station to Tau station. At every station, the probability that he looks up from his notes is the same p>0 (independently of each other). If he looks up and observes that he has reached his destination, then he gets off. If he can see that he has passed his destination, then he also gets off and gets on the train travelling in the opposite direction. If he looks up and sees that he has not reached his destination yet, he stays in his train. If he does not look up, he will stay on the train wherever he is. What is the probability that he will get off at Tau station after a while?
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Útmutatás: Mekkora a valószínűsége annak, hogy elsőre túlmegy?
Megoldás: Ha a professzor egy Tyukod felé tartó szerelvényen utazik, akkor az előzményektől függetlenül p valószínűséggel leszáll Tyukodon, 1-p valószínűséggel pedig valamely későbbi állomáson. Annak ugyanis 0 a valószínűsége, hogy az idők végezetéig fennmarad a szerelvényen, hiszen (1-p)N+1 annak valószínűsége, hogy sem Tyukodon, sem az azt követő N állomás valamelyikén nem száll le a metróról, ez pedig 0-hoz tart, midőn N minden határon túl nő. (Itt hallgatólagosan feltételeztük, hogy az állomások száma mindkét irányban végtelen.)
Legyen qk annak a valószínűsége, hogy a professzor még a k-adik körben sem száll le Tyukodon. Láttuk, hogy q1=1-p. Most már k szerinti indukcióval könnyen beláthatjuk, hogy qk=(1-p)k. Tegyük fel, hogy ezt k-ra már beláttuk, vagyis qk=(1-p)k annak a valószínűsége, hogy egy k-adik utazásra is sor került, de a professzor nem szállt le Tyukodon. Láttuk, hogy 1 valószínűséggel később leszáll, és sor kerül egy (k+1)-edik menetre, melynek során p valószínűséggel leszáll Tyukodon, 1-p valószínűséggel pedig nem. Ezért valóban qk+1=(1-p)qk=(1-p)k+1. Mivel qk a 0-hoz tart, a professzor 1 valószínűséggel előbb vagy utóbb megérkezik Tyukodra.
Statistics:
106 students sent a solution. 4 points: Alyosha Latyntsev, Badacsonyi István András, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Barna István, Borsi Miklós, Csernák Tamás, Czipó Bence, Czövek Márton, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Gyarmati Richárd, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Juhász Kristóf, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kelemen Bendegúz, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács Balázs Marcell, Kristóf Kitti, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Lelkes János, Lezsák Gábor, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Németh Gergely, Öreg Botond, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simon 047 Péter, Somogyvári Kristóf, Szabó 928 Attila, Szaksz Bence, Talyigás Gergely, Tardos Jakab, Tóth László Gábor, Vályi András, Varga 149 Imre Károly, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás. 3 points: 14 students. 2 points: 17 students. 1 point: 8 students. 0 point: 18 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012