Problem B. 4506. (January 2013)
B. 4506. Prove that there exists a set of infinitely many positive integers such that no finite subset of them add up to a perfect square.
Suggested by P. Kutas, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on February 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldási ötlet: 1. megoldás: Válasszunk ki 2-hatványokat.
2. megoldás: Ha már valahány számot kiválasztottunk, a következő legyen ,,sokkal'' nagyobb, mint az addigiak.
1. megoldás. Legyen minden nemnegatív egész n-re xn=22n+1. Megmutatjuk, hogy ezek közül semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.
Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k1) számot, ezek . A számok összege
Az utolsó szorzatban a 22n1+1 tényező a 2-nek páratlan kitevőjű hatványa, a másik tényező pedig páratlan, ezért a szorzatuk nem lehet négyzetszám.
2. megoldás. A keresett számokat rekurzívan adjuk meg. Legyen y1=2. Ha az számokat már definiáltuk, akkor legyen .
Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k1) számot, ezek . Legyen ; azt kell ellenőriznünk, hogy S nem négyzetszám.
Ha nk=1, az csak úgy lehet, ha k=1 és S=y1=2, ami nem négyzetszám.
Ha nk2, akkor a sorozat definíciója alapján
és
Az S két szomszédos négyzetszám közé esik, ő maga nem lehet négyzetszám.
Statistics:
111 students sent a solution. 4 points: 92 students. 3 points: 11 students. 2 points: 6 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013