Problem B. 4508. (January 2013)

B. 4508. Show that if a, b and c are positive numbers then $a^{\frac 34}+b^{\frac 34}+c^{\frac 34} >{(a+b+c)}^{\frac 34}$ .

Inspired by Jim Boyd, USA

(4 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Az $x\mapsto x^{\frac 34}$ függvény konkáv.

1. megoldás. Az $f(x)=x^{\frac 34}$ függvény szigorúan konkáv. Ezért u,v>0 esetén

$\frac{f(u)}{u} = \frac{f(u)-f(0)}{u-0} > \frac{f(u+v)-f(0)}{(u+v)-0} > \frac{f(u+v)-f(v)}{(u+v)-v} = \frac{f(u+v)-f(v)}{u}.$

Az u-val szorozva, és átrendezve:

f(u)+f(v)>f(u+v).

(1)

Az (1)-et az u=a, v=b, illetve az u=a+b, v=c esetekre alkalmazva:

f(a)+f(b)+f(c)>f(a+b)+f(c)>f(a+b+c)

$a^{\frac34}+b^{\frac 34}+c^{\frac 34} > {(a+b+c)}^{\frac 34} .$

2. megoldás. Azt fogjuk felhasználni, hogy ha 0<t<1, akkor t^3/4>t.

Legyen $x=\frac{a}{a+b+c}$ , $y=\frac{b}{a+b+c}$ és $z=\frac{c}{a+b+c}$ . Ekkor 0<x,y,z<1 és x+y+z=1, így

$\frac{a^{\frac 34}+b^{\frac 34}+c^{\frac 34}}{(a+b+c)^{\frac 34}} = x^{\frac 34}+y^{\frac 34}+z^{\frac 34} > x+y+z=1.$

89 students sent a solution.

4 points: 58 students.

3 points: 3 students.

2 points: 2 students.

1 point: 1 student.

0 point: 25 students.

Already signed up?
New to KöMaL?