Problem B. 4508. (January 2013)
B. 4508. Show that if a, b and c are positive numbers then .
Inspired by Jim Boyd, USA
(4 pont)
Deadline expired on February 11, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldási ötlet: Az függvény konkáv.
1. megoldás. Az függvény szigorúan konkáv. Ezért u,v>0 esetén
Az u-val szorozva, és átrendezve:
f(u)+f(v)>f(u+v). | (1) |
Az (1)-et az u=a, v=b, illetve az u=a+b, v=c esetekre alkalmazva:
f(a)+f(b)+f(c)>f(a+b)+f(c)>f(a+b+c)
2. megoldás. Azt fogjuk felhasználni, hogy ha 0<t<1, akkor t3/4>t.
Legyen , és . Ekkor 0<x,y,z<1 és x+y+z=1, így
Statistics:
89 students sent a solution. 4 points: 58 students. 3 points: 3 students. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 25 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013