Problem B. 4514. (February 2013)

B. 4514. Solve the equation 36a⁴+b⁴=9c⁴+4d⁴ on the set of integers.

Suggested by Gy. Orosz, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk az 5-ös maradékot.

Megoldás. Az (1)-nek triviális megoldása a (0,0,0,0). Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Tegyük fel, hogy létezik olyan (a,b,c,d) megoldás, amelyben a,b,c,d valamelyike 0-tól különböző (nevezzük az ilyeneket "nemtriviális" megoldásoknak), és vegyünk a nemtriviális megoldások közül egy olyat, amelyben |a|+|b|+|c|+|d| minimális.

Vizsgáljuk (1)-ben a két oldal maradékát 5-tel osztva. Tetszőleges x egészre, ha $x\equiv\pm1\pmod5$ , akkor $x^4\equiv(\pm1)^4=1\pmod5$ , ha pedig $x\equiv\pm2\pmod5$ , akkor $x^4\equiv(\pm2)^4=16\equiv1\pmod5$ . Ha pedig $x\equiv0\pmod5$ , akkor természetesen $x^4\equiv0\pmod5$ .

Ezért (1) baloldalán a 36a⁴+b⁴=5^.7a⁴+(a⁴+b⁴) szám 5-ös maradéka 0, 1 vagy 2, és a 0 csak akkor lehetséges, ha a és b is osztható 5-tel. Hasonlóan, (1) jobboldalán a 9c⁴+4d⁴=5(2c⁴+d⁴)-(c⁴+d⁴) 5-ös maradéka 0, -1 vagy -2, és a 0 csak akkor lehetséges, ha c és d is osztható 5-tel. A {0,1,2} és {0,-1,-2} halmazoknak egyetlen közös eleme a 0, tehát (1) csak úgy teljesülhet, ha mindkét oldal, sőt, a, b, c, d mindegyike osztató 5-tel.

Legyen a₁=a/5, b₁=b/5, c₁=c/5 és d₁=d/5. Ezek mindegyike egész szám, az egyenlet teljesül rájuk, nem mindegyikük 0, tehát (a₁,b₁,c₁,d₁) is nemtriviális megoldása az egyenletnek. Viszont $|a_1|+|b_1|+|c_1|+|d_1| = \frac15\big(|a|+|b|+|c|+|d|\big) < |a|+|b|+|c|+|d|$ , ez pedig ellentmond annak, hogy a lehető legkisebb nemtriviális megoldást választottuk.

Megjegyzés. Az egyenletben szereplő 4-es kitevőkből sejthetjük meg, hogy az 5-ös maradékokat érdemes vizsgálni: a kis Fermat-tétel szerint $x^4\equiv 1\pmod5$ , ha x nem osztható 5-tel.

Statistics:

86 students sent a solution.

4 points: Ágoston Péter, Almási Péter, Andó Angelika, Badacsonyi István András, Bajnok Anna, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fekete Panna, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mándoki Sára, Mattia Tiso, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Somogyvári Kristóf, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zilahi Tamás, Zsakó Ágnes.

3 points: 14 students.

2 points: 12 students.

1 point: 1 student.

0 point: 13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013

86 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Almási Péter, Andó Angelika, Badacsonyi István András, Bajnok Anna, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fekete Panna, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mándoki Sára, Mattia Tiso, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Somogyvári Kristóf, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zilahi Tamás, Zsakó Ágnes.
3 points:	14 students.
2 points:	12 students.
1 point:	1 student.
0 point:	13 students.

Already signed up?
New to KöMaL?