Problem B. 4521. (February 2013)

B. 4521. C is an interior point of a segment AB of line e. k₁, k₂ and k₃ are semicircles drawn over the line segments AB, AC and CB on the same side of line e. The midpoints of the arcs of the semicircles are F₁, F₂ and F₃. A circle touches semicircle k₁ on the inside at E, and also touches the semicircles k₂ and k₃ on the outside. Show that the midpoint M of the line segment AB and the points C, F₁, F₂, F₃ and E are all concyclic.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Keressük meg a különböző körpárok hasonlósági pontjait.

Megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy F₂. F₃, M és E is rajta van a CF₁ átmérőjű körön.

Legyen k a k₁-et belülről, a k₂-t és k₃-at kívülről érintő kör, és jelölje k érintési pontjait k₂-n és k₃-on P, illetve Q.

Mivel F₁ a k₁ félkörív felezőpontja, M pedig a kör középpontja, MF₁ az AB szakasz felező merőlegese, tehát . A Thalész-tétel megfordítása miatt M rajta van a CF₁ átmérőjű körön.

A k₁ és k₂ körök külső hasonlósági pontja A, a k₁ és k₃ körök külső hasonlósági pontja pedig B. Az A pontból a k₁ félkört a k₂ félkörbe kicsinyítve, az ABF₁ egyenlő szárú derékszögű háromszög képe az ACF₂ háromszög lesz, ezért az F₂ pont az AF₁ szakaszon van, és a CF₂ szakasz párhuzamos a BF₁ szakasszal. Hasonlóan, a B pontból a k₁ félkört a k₃ félkörbe kicsinyítve, az ABF₁ egyenlő szárú háromszög képe a CBF₃ háromszög, tehát az F₃ pont a BF₁ szakaszon van, és a CF₃ szakasz párhuzamos AF₁-gyel. Mivel , a CF₃F₁F₂ négyszög téglalap, és a körülírt körének CF₁ egy átmérője.

Még azt kell megmutatnunk, hogy ez a kör az E ponton is átmegy.

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor k₂ sugara kisebb, mint k₃ sugara. Legyen H a k₂ és k₃ körök külső hasonlósági pontja, ami a BA félegyenes A-n túli meghosszabbításán van. A k és k₂ belső hasonlósági pontja P, a k és k₃ belső hasonlósági pontja Q. A három hasonlósági pont tétele szerint P, Q és H egy egyenesen van.

Legyen Q' a HPQ egyenes és k₃ második, Q-tól különböző metszéspontja. Az a H középpontú nagyítás, ami k₂-t k₃-ba viszi, az A-t C-be, C-t B-be, továbbá P-t Q'-be képezi. Ezért

(1)

amiből

A H pontnak a k₃-ra vonatkozó hatványa

HB^.HC=HQ^.HQ';

Ezt összevetve (1)-gyel,

(3)

Mivel HA^.HB=HP^.HQ, az A,B,P,Q pontok egy körön vannak; jelöljük ezt a kört -lel. A k és hatványvonala PQ, a k₁ és hatványvonala AB, a k és k₁ hatványvonala pedig az E-ben húzott közös érintőjük. Mivel H=ABPQ, a három kör hatványpontja H, és az E-ben húzott érintő is átmegy H-n.

Mivel HE²=HA^.HB=HC², a HCE háromszög egyenlő szárú. Az MF₁E háromszög szintén egyenlő szárú (szárai a k₁ sugarai), és a két háromszög megfelelő szárai merőlegesek egymásra: HC merőleges NF₁-re, és HE (k₁ érintője) merőleges az ME sugárra. Ezért a háromszögek alapoldalai is merőlegesek: . A Thalész-tétel megfordítása szerint ebből következik, hogy E is rajta van a CF₁ átmérőjű körön.

Ha k₁ sugara nagyobb, mint k₂ sugara, akkor az A és B pontok szerepének felcserélésével ugyanígy járhatunk el. Ha pedig k₁ és k₂ egybevágó, akkor az ábra szimmetrikus az MF₁ egyenesre, E=F₁, emiatt az állítás ilyenkor is igaz.

Statistics:

43 students sent a solution.
6 points:	Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Lelkes János, Machó Bónis, Maga Balázs, Medek Ákos, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás.
5 points:	Herczeg József, Kabos Eszter, Tardos Jakab, Venczel Tünde, Vető Bálint.
4 points:	1 student.
3 points:	3 students.
2 points:	9 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013