Problem B. 4533. (April 2013)

B. 4533. Is there a positive integer that is a perfect power and has digits of 0 and 6 only in decimal notation?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: I. Vizsgáljuk a 2 és az 5 kitevőjét. II. Bizonyítsunk indirekt. Vegyük a legkisebb ilyen számot, majd keressünk nála kisebbet.

Megoldás. Nincs.

Tekintsük egy tetszőleges N pozitív egészt, aminek a tízes számrendszerbeli alakjában minden számjegy 0 vagy 6. legyen az utolsó 6-os után álló 0 jegyek száma k. (Ha az utolsó jegy 6-os, akkor k=0.) Ekkor tehát

$N = 6\ldots 6\underbrace{0\ldots0}_k = N_1\cdot 10^k = N_1\cdot 2^k\cdot 5^k,$

ahol az N₁ szám utolsó jegye 6.

Az N₁ szám nem osztható 5-tel, ezért az N prímtényezős felbontásában az 5 kitevője k.

Az N₁ utolsó két jegye vagy 06, vagy pedig 66; az N₁ egyik esetben sem osztható 4-gyel. Ezért a 2 kitevője az N prímtényezős felbontásában pontosan k+1.

Ha N teljes hatvány lenne, azaz N=a^h lenne valamilyen h>1 kitevővel, akkor a 2 és az 5 kitevője is osztható lenne h-val. De ez a két kitevő, k és k+1 relatív prímek, ilyen h tehát nem lehet.

Statistics:

102 students sent a solution.

4 points: 80 students.

3 points: 11 students.

2 points: 7 students.

1 point: 3 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013

102 students sent a solution.
4 points:	80 students.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?