Problem B. 4538. (April 2013)
B. 4538. The function satisfies (x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3. Evaluate f(2013), given that f(2)=5.
(Matlap, Kolozsvár)
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldási ötlet: Vizsgáljuk az f(x)+1 függvényt.
Megoldás. Legyen g(x)=f(x)+1. A függvényegyenletet átírva g-re,
(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=3=(x+1)-(x-2)
(x-2)(f(x)+1)-(x+1)(f(x-1)+1)=0
(x-2)g(x)-(x+1)g(x-1)=0
(*) |
Ha n>2 egész, akkor a (*) összefüggést sorban x=n, x=n-1, ..., x=3-ra alkalmazva
(**) |
Az n=2013 speciális esetben g(2013)=2014.2013.2012=8 157 014 184, tehát
f(2013)=8 157 014 183.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy f(2013) értéke nem lehet más, mint 8 157 014 183, de azt még nem mutattuk meg, hogy ez az érték valóban lehetséges. Ahhoz, hogy a megoldás teljes legyen, azt is ellenőriznünk kell, hogy létezik legalább egy, a feltételeknek megfelelő f függvény. Egy lehetséges függvényt a (**) képletből megsejthetünk:
f(x)=(x+1)x(x+1)-1.
Erre a függvényre valóban teljesül, hogy
(x-2)f(x)-(x+1)f(x-1)=(x-2)((x+1)x(x-1)-1)-(x+1)(x(x-1)(x-2)-1)=3.
Statistics:
89 students sent a solution. 5 points: 65 students. 4 points: 11 students. 3 points: 4 students. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013