Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4545. (May 2013)

B. 4545. Is it possible for the sum of the reciprocals of 2013 different positive integers to be

a) 2.013;

b) 20.13?

Matlap, Kolozsvár

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Keressünk rekurzív előállítást, illetve alkalmas becslést.

Megoldás. a) Igen.

A 2,013 számot többféleképpen is feírhatjuk néhány különböző pozitív egész reciporokának összegeként, például

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{100}+\frac1{500}+\frac1{1000} \)(1)

vagy

\(\displaystyle 2.013 = \frac11+\frac12+\frac13+\frac16+\frac1{80}+\frac1{2000}. \)(2)

A tagok számát eggyel növelhetjük a következőképpen: ha a legkisebb tag \(\displaystyle \frac1a\) (ahol \(\displaystyle a>1\)), akkor ezt elhagyjuk, és a felíráshoz hozzávesszük az \(\displaystyle \frac1{a+1}\), és \(\displaystyle \frac1{a(a+1)}\) tagokat. Mivel \(\displaystyle \frac1{a+1}+\frac1{a(a+1)}=\frac1a\), az összeg nem változik. Továbbá, mivel a legkisebb tagot cseréljük három még kisebbre, a tagok továbbra is különbözők.

Az (1,2) felírások valamelyikéből kiindulva, a fenti lépést ismételgetve eljuthatunk egy 2013 tagú előállításhoz.

b) Nem.

Ha \(\displaystyle a_1<a_2<...<a_{2013}\) egész számok, akkor minden \(\displaystyle 1\le i\le 2013\)-ra \(\displaystyle a_i\ge i\), és így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} \le \sum_{i=1}^{2013}\frac1i. \)

Ezt az összeget az \(\displaystyle 1/x\) függvény integrálásával becsülhetjük: az \(\displaystyle (i-1,i)\) intervallumban \(\displaystyle \frac1x<\frac1i\), így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < 1 + \sum_{i=2}^{2013} \int_{i-1}^i \frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \int_1^{2013}\frac{{\rm d}x}{x} = 1 + \ln 2013 \approx 7,07 < 20,13. \)

Tehát

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1{a_i} < 20,13, \)

vagyis az 20,13 előállításához nem elég 2013 pozitív egész szám.

Megjegyzés. A \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i\) összeget úgy is megbecsülhetjük, hogy a nevezőket 2-hatványokra cseréljük:

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2013}\frac1i < \frac11 +\left(\frac12+\frac13\right) +\left(\frac14+\dots+\frac17\right) +\left(\frac18+\dots+\frac1{15}\right) +\dots +\left(\frac1{1024}+\dots+\frac1{2047}\right) < \)

\(\displaystyle < 1+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14+\dots+1024\cdot\frac1{1024} = 11. \)


Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:10 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2013