Problem B. 4554. (September 2013)
B. 4554. Three angles of a cyclic quadrilateral are , 2 and 3. Determine the angles of the cyclic quadrilateral.
Suggested by Gy. Lakos, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on October 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöjük a negyedik szög nagyságát -val. Mint tudjuk, a húrnégyszög szemközt szögeinek összege 180o. A , 2 és 3 szöge közül valamelyik a -val szemben fekszik, ez 3 esetet jelent.
1. eset: A -val szemközti szög , ekkor tehát 2 és 3 egymással szemben fekszik, így +=180o és 2+3=180o. A második feltételből , az elsőből pedig =180o-=144o. A négyszög szögei tehát rendre
2=72o, =36o, 3=108o, =144o.
2. eset: A -val szemközti szög 2, ekkor és 3 egymással szemben fekszik, 2+=180o és +3=180o. A második feltételből , az elsőből =180o-2=90o. A négyszög szögei tehát rendre
=45o, 2=90o, 3=135o, =90o.
3. eset: A -val szemközti szög 3, ekkor és 2 szemben fekszik egymással, 3+=180o és +2=180o. A második feltételből , az elsőből =180o-3=0. Mivel >0, ez az eset nem lehetséges.
A négyszög szögei tehát: 72o, 36o, 108o, 144o, vagy 45o, 90o, 135o, 90o.
Statistics:
390 students sent a solution. 3 points: 319 students. 2 points: 55 students. 1 point: 16 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013