Problem B. 4556. (September 2013)

B. 4556. Solve the simultaneous equations

x³=5x+y,

y³=5y+x.

Russian entrance examination problem

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A két egyenletet adjuk össze, rendezzük egy oldalra, majd alakítsuk szorzattá:

x³+y³=6x+6y

(1a)

x³+y³-6x+6y=0

(x+y)(x²-xy+y²-6)=0.

Ez csak akkor teljesülhet, ha

x+y=0 vagy x²-xy+y²-6=0.

(1b)

Hasonlóan, a két egyenlet különbségét véve,

x³-y³=(5x+y)-(5y+x)

(2a)

x³-y³-4x+4y=0

(x-y)(x²+xy+y²-4)=0.

x-y=0 vagy x²+xy+y²-4=0.

(2b)

Az (1a) és (2a) egyenletek összegét, illetve különbségét véve visszakaphatjuk az eredeti egyenleteket, továbbá az (1a) ekvivalens az (1b)-vel, a (2a) pedig ekvivalens a (2b)-vel. Ezért bármelt (x,y) pár akkor megoldása az eredeti egyenletrendszernek, ha teljesíti (1b)-t és (2b)-t is.

Az (1b) és (2b) feltételeket összesen négy esetre bonthatjuk:

1. eset: x+y és x-y=0.

Ebből $x=\frac{(x+y)+(x-y)}2=0$ és $y=\frac{(x+y)-(x-y)}2=0$ ; ezekre (1b) és (2b) nyilván teljesül.

2. eset: x+y és x²+xy+y²-4=0.

Az első feltétel szerint y=-x. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve, y²=4, vagyis y= $\pm$ 2 és x= $\mp$ 2. Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek teljesítik a két feltételt.

3. eset: x²-xy+y²-6=0 és x-y=0.

A 2. esethez hasonlóan, x=y és y²=6, vagyis $x=y=\pm\sqrt6$ .

Ezek is teljesítik a két feltételt.

4. eset: (3) x²-xy+y²-6=0 és (4) x²+xy+y²-4=0.

A (3) egyenlet 3-szorosából vonjuk ki a (4)-et:

3(x²-xy+y²-6)-(x²+xy+y²-4)=0

(5a)

2x²-4xy+2y²-14=0

(x-y)²=7

$x-y = \pm\sqrt7$

(5b)

Most a (4) 3-szorosából vonjuk ki (3)-at:

3(x²+xy+y²-4)-(x²-xy+y²-6)=0

(6a)

2x²+4xy+2y²-6=0

(x+y)²=3

$x+y = \pm\sqrt3$

(6b)

Az (5b) és (6b) egyenletekből visszakaphatjuk a (3) és (4) egyenleteket: ha az (5a) 3/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 1/8-szorosát, éppen (3)-at kapjuk, illetve ha az (5a) 1/8-szorosához hosszáadjuk a (6b) 3/8-szorosát, éppen (4)-et kapjuk. Ezért a (3,4) egyenletrendszer ekvivalens az (5a,6a) és a (5b,6b) egyenletrendszerekkel.

A $\sqrt7$ és a $\sqr3$ előjelének megválasztásától függően ez összesen 4 újabb alesetet jelent, ezek is mind megoldások: $x = \frac{(x+y)+(x-y)}2 = \frac{\pm\sqrt3\pm\sqrt7}2$ , $y = \frac{(x+y)-(x-y)}2 = \frac{\pm\sqrt3\mp\sqrt7}2$ .

Összefoglalva, az egyenletrendszer megoldásai a következő (x,y) számpárok:

$(0,0), ~ (2,-2), ~ (-2,2), ~ \big(\sqrt6,\sqrt6\big), ~ \big(-\sqrt6,-\sqrt6\big),$

$\bigg(\frac{\sqrt3+\sqrt7}2,\frac{\sqrt3-\sqrt7}2\bigg), ~ \bigg(\frac{\sqrt3-\sqrt7}2,\frac{\sqrt3+\sqrt7}2\bigg), ~ \bigg(\frac{-\sqrt3+\sqrt7}2,\frac{-\sqrt3-\sqrt7}2\bigg), ~ \bigg(\frac{-\sqrt3-\sqrt7}2,\frac{-\sqrt3+\sqrt7}2\bigg).$

Statistics:

275 students sent a solution.

4 points: 56 students.

3 points: 95 students.

2 points: 62 students.

1 point: 38 students.

0 point: 21 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013

275 students sent a solution.
4 points:	56 students.
3 points:	95 students.
2 points:	62 students.
1 point:	38 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?