Problem B. 4557. (September 2013)

B. 4557. Given five points in the plane, no three of which are collinear. Show that it is possible to select three points out of them that form an obtuse-angled triangle.

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat.

1. eset: A pontok egy konvex ötszög csúcsai.

Az ötszög szögeinek összege 540 fok, tehát valamelyik csúcsnál legalább 540/5=108 fokos, tehát tompaszög van. Ez a csúcs a két szomszédjával együtt tompaszögű háromszöget alkot.

2. eset: A pontok konvex burka három- vagy négyszög.

Ha a konvex burok négyszög, akkor az egyik átlóval bontsuk két háromszögre. Legalább az egyik pont (jelöljük X-vel) a konvex burok belsejébe, egyben az (egyik) háromszögbe esik, legyen ez a háromszög ABC. Az AXB, BXC, CXA szögek összege 360 fok, valamelyik legalább 120 fokos. Ezért az AXB, BXC, CXA háromszögek közül legalább az egyik tompaszögű.

Statistics:

250 students sent a solution.
4 points:	164 students.
3 points:	51 students.
2 points:	20 students.
1 point:	11 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013