Problem B. 4564. (October 2013)

B. 4564. Prove that if n+1<k<2n then n distinct lines cannot divide the plane into k parts.

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Ha mind az n egyenes párhuzamos, akkor a síkot pontosan n+1 részre osztják. Tegyük tehát fel, hogy van két olyan az egyenesek között, e₁ és e₂, ami metszi egymást. Rajzoljuk meg ezeket először, majd egyesével a többit.

Minden egyes új e_i egyenes elmetszi e₁ és e₂ közül legalább az egyiket, ezért az e_i egyenes legalább két darabból áll. Ezek a darabok kettéosztanak egy-egy síkrészt; a síkrészek száma pontosan annyival nő, mint ahány darabra osztják e_i-t a korábban megrajzolt egyenesek.

Az első két egyenes 4 részre osztja a síkot, minden egyes új egyenes legalább 2-vel növeli a síkrészek számát, tehát az n egyenes legalább 2n részre osztja a síkot.

Statistics:

214 students sent a solution.
4 points:	106 students.
3 points:	41 students.
2 points:	44 students.
1 point:	13 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013