Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4566. (October 2013)

B. 4566. The squares ABDE, BCFG and CAHI are drawn over the sides of a triangle ABC, on the outside. The triangles DBG, FCI and HAE are completed to form the parallelograms DBGJ, FCIK and HAEL. Prove that AKB\sphericalangle +BLC\sphericalangle + CJA\sphericalangle =90^{\circ}.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) vektor \(\displaystyle 90^{\circ}\)-kal való elforgatottját jelölje \(\displaystyle \overrightarrow{v}'\), egy \(\displaystyle P\) pontét pedig \(\displaystyle P'\).

Ekkor

\(\displaystyle \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IK}= -\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}',\)

amiből

\(\displaystyle \overrightarrow{AK}'=(-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}'+\overrightarrow{BC}')'= (-\overrightarrow{CA})'+(\overrightarrow{CA}')'+(\overrightarrow{BC}')'= -\overrightarrow{CA}'-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}.\)

Felírható, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\), és így \(\displaystyle (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})' =\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'+\overrightarrow{CA}'=\overrightarrow{0}'=\overrightarrow{0}\), így \(\displaystyle \overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{BC}'=-\overrightarrow{CA}'\) és \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{CA}\), tehát \(\displaystyle \overrightarrow{AK}'=\overrightarrow{AJ}\). Tehát a \(\displaystyle K\) pont \(\displaystyle A\) körüli \(\displaystyle -90^{\circ}\)-os elforgatottja a \(\displaystyle J\) pont, a \(\displaystyle B\) pont elforgatottja az \(\displaystyle E\) pont, ezért az \(\displaystyle AKB\triangle\) elforgatottja az \(\displaystyle AJE\triangle\). Emiatt \(\displaystyle AKB\sphericalangle=AJE\sphericalangle\).

Hasonlóan belátható, hogy a \(\displaystyle BLC\triangle\) \(\displaystyle C\) körüli \(\displaystyle +90^{\circ}\)-os elforgatottja az \(\displaystyle FJC\triangle\), ami miatt \(\displaystyle BLC\sphericalangle=FJC\sphericalangle\).

Tehát \(\displaystyle AKB\sphericalangle+BLC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=AJE\sphericalangle+FJC\sphericalangle+CJA\sphericalangle=FJE\sphericalangle\). Erről kéne belátni, hogy \(\displaystyle 90^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{JE}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE}\), így \(\displaystyle \overrightarrow{JE}'=(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DE})'=(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DE})'= \overrightarrow{GB}'+\overrightarrow{DE}'=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GF}+ \overrightarrow{JG}=\overrightarrow{JF}\). Tehát az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle E\) pont \(\displaystyle J\) körüli \(\displaystyle -90^{\circ}\)-os elforgatottja. Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle FJE\sphericalangle=90^{\circ}\), a bizonyítást befejeztük.

Statistics:

98 students sent a solution.
5 points:Balogh Tamás, Barabás Ábel, Di Giovanni Márk, Egyházi Anna, Fekete Panna, Geng Máté, Kabos Eszter, Kocsis Júlia, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Machó Bónis, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Schwarcz Tamás, Varga Rudolf, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
4 points:57 students.
3 points:9 students.
2 points:3 students.
1 point:6 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013