Problem B. 4567. (October 2013)

B. 4567. Determine all functions $f\colon \mathbb{R} \backslash \{0, 1\} \to \mathbb{R}$ such that $f\left(\frac{x-1}{x}\right) +f\left(\frac{1}{1-x}\right)=2-2x$ .

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tetszőleges $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \setminus \{0,1\}$ számra

$\displaystyle \tag{1} f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)+f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)=2-2x_{0}.$

Helyettesítsük most az eredeti egyenletben $\displaystyle x$ helyébe az $\displaystyle \dfrac{1}{1-x_{0}}\in \mathbb{R}\setminus \{0, 1\}$ számot:

$\displaystyle \tag{2} f \left(\frac{\frac{1}{1-x_{0}}-1}{\frac{1}{1-x_{0}}}\right)+ f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x_{0}}}\right) = f (1-1+x_{0})+ f\left(\frac{1-x_{0}}{1-x_{0}-1}\right)= $

$\displaystyle = f(x_{0})+ f\left(\frac{x_{0}-1}{x_{0}}\right)=2-2\cdot \frac{1}{1-x_{0}}.$

Most pedig alkalmazzunk $\displaystyle x=\frac{x_{0}-1}{x_{0}}$ helyettesítést.

$\displaystyle \tag{3} f\left(\frac{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}-1}{\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) +f\left(\frac{1}{1-\frac{x_{0}-1}{x_{0}}}\right) =f\left(\frac{x_{0}-1-x_{0}}{x_{0}-1}\right) +f\left(\frac{x_{0}}{x_{0}-x_{0}+1}\right)= $

$\displaystyle = f\left(\frac{1}{1-x_{0}}\right)+ f (x_{0})=2-2\cdot \frac{x_{0}-1}{x_{0}}.$

A $\displaystyle (2)$ és $\displaystyle (3)$ egyenletek összegéből vonjuk ki az eredeti $\displaystyle (1)$ egyenletet, majd osszunk 2-vel és írjunk az egyenletben $\displaystyle x_{0}$ helyett $\displaystyle x$-et.

$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}. $

Az eredeti függvényegyenletbe helyettesítve ellenőrízhető, hogy ez a függvény valóban megoldás is:

$\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+ f\left(\frac{1}{1-x}\right)= $

$\displaystyle = \frac{x-1}{x} +\frac{x}{x-1} +\frac{1}{\frac{x-1}{x}-1} +\frac{1}{1-x}+(1-x) +\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}= $

$\displaystyle = \frac{x-1}{x}+1-x+(1-x)+\frac{1-x}{x}=2-2x.$

Szabó Tímea (Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

97 students sent a solution.

5 points: 53 students.

4 points: 31 students.

3 points: 5 students.

2 points: 2 students.

1 point: 1 student.

0 point: 5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

97 students sent a solution.
5 points:	53 students.
4 points:	31 students.
3 points:	5 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.

Already signed up?
New to KöMaL?