Problem B. 4568. (October 2013)

B. 4568. There are n prisoners in a prison. Since the guards are bored, they invent the following game: Either a red hat or a blue hat is placed on the head of each prisoner such that no one can see the colour of the hat on their own heads. Then the prisoners are allowed to look at one another (everyone can see everyone else's hat). Finally, each of them guesses the colour of their own hat, and writes it down on a sheet of paper. If all answers are correct, the prisoners may go for a walk in the courtyard. What strategy should they agree on, so that the probability of a walk in the courtyard is a maximum?

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az őrök az egyes rabok sapkáját egymástól függetlenül választják meg 1/2 - 1/2 valószínűséggel, akkor már egyetlen rab is csak 1/2 eséllyel találja ki a saját sapkaszínét, függetlenül a rabok stratégiájától.

Azt viszont a rabok elérhetik, hogy egyszerre nyerjenek vagy veszítsenek, mégpedig az őrök stratégiájától függetlenül 1/2 eséllyel.

Nevezzük páros-piros stratégiának azt, hogy mindenki akkor tippel pirosra, ha a többieken páratlan számú piros sapkát lát; így ha összesen páros számú piros sapkájuk van, akkor midegyikük jól fog tippelni, ellenkező esetben mindegyikük rosszul tippel. Hasonlóan, nevezzük páratlan-piros stratégiának azt, hogy mindenki akkor tippel pirosra, ha a többieken páros számú piros sapkát lát; így ha összesen páratlan számú piros sapkájuk van, akkor nyernek.

A játék előtt a rabok kisorsolják, hogy a páros-piros vagy a páratlan-piros stratégiát fogják követni. Ezzel elérhetik, hogy 1/2 eséllyel nyerjenek.

Statistics:

145 students sent a solution.
5 points:	Badacsonyi István András, Csernák Tamás, Fonyó Viktória, Szebellédi Márton.
4 points:	64 students.
3 points:	25 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	46 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013