Problem B. 4571. (October 2013)

B. 4571. Given that the events A₂,A₃,...,A_n are independent and $P(A_i)=\frac{1}{2i^2}$ . What is the probability that an odd number of events occur out of A₂,A₃,...,A_n?

(6 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy A₂,A₃,...,A_n közül páratlan sok következik be. Definiáljuk az X₂,...,X_n valószínűségi változókat a következőképpen: legyen X_i=-1, ha A_i bekövetkezik, illetve X_i=+1, ha A_i nem következik be.

Az X₂X₃...X_n szorzat értéke pontosan akkor -1, ha A₂,A₃,...,A_n közül páratlan sok következik be, ellenkező esetben a szorzat +1. A szorzat várható értéke ezért

E(X₂X₃...X_n...)=p^.(-1)+(1-p)^.(+1)=1-2p.

(1)

Független változók szorzatának várható értékét tényezőnként is kiszámíthatjuk, ezért

$E\big(X_2X_3\dots X_n\big) = \prod_{i=2}^n E(X_i) = \prod_{i=2}^n \Big(P(A_i)\cdot(-1)+(1-P(A_i))\cdot(+1)\Big) = \prod_{i=2}^n \big(1-2P(A_i)\big) =$

$= \prod_{i=2}^n \bigg(1-\frac1{i^2}\bigg) = \prod_{i=2}^n \frac{(i-1)(i+1)}{i^2} = \frac{(1\cdot3)\cdot(2\cdot4)\dots\big((n-1)(n+1)\big)}{2^2\cdot3^2\dots n^2} = \frac{n+1}{2n}.$

(2)

Az (1) és (2) összevetéséből

$p = \frac{n-1}{4n}.$

Statistics:

41 students sent a solution.

6 points: Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás.

5 points: Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Fekete Panna, Frank György, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Halácsy Gergely, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 246 Benedek, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Seress Dániel, Szécsi Péter, Talyigás Gergely, Thamó Emese, Williams Kada.

4 points: 2 students.

3 points: 1 student.

2 points: 3 students.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

41 students sent a solution.
6 points:	Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Kúsz Ágnes, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás.
5 points:	Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Fekete Panna, Frank György, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Halácsy Gergely, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 246 Benedek, Lajos Hanka, Leipold Péter, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Seress Dániel, Szécsi Péter, Talyigás Gergely, Thamó Emese, Williams Kada.
4 points:	2 students.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?