Problem B. 4582. (December 2013)
B. 4582. Let d(n) denote the number of positive factors of the positive integer n. Determine those numbers n for which d(n3)=5.d(n).
Suggested by M. Di Giovanni, Győr
(3 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. Az n=1 nem megoldása az egyenletnek, ezért n2. Legyen n prímténytezős felbontása n=p1a1.....pkak, ahol k
1, p1,...,pk különböző prímszámok, és a1,...,ak pozitív egészek. Ekkor
és
, az egyenletünk pedig a következő alakba írható:
A jobboldalon minden tényező 2 és 3 közé esik, ugyanis és
. Egyetlen tényező esetén a szorzat kisebb, mint 3; legalább három tényező esetén pedig a szorzat értéke legalább 8. Ezért a tényezők száma csak 2 lehet: k=2.
Vezessünk be új jelöléseket: legyen p=p1, q=p2, a=a1 és b=a2. Az új egyenlet:
(3a+1)(3b+1)=5(a+1)(b+1)
(2a-1)(2b-1)=5.
Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává; azt kapjuk, hogy a és b közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a=3 és b=1. Tehát
n=p3.q,
ahol p és q különböző prímek.
Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert d(n)=d(p3q)=4.2=8 és d(n3)=f(p9q3)=10.4=40.
Statistics:
158 students sent a solution. 3 points: 106 students. 2 points: 21 students. 1 point: 22 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013