Problem B. 4584. (December 2013)
B. 4584. A line is drawn through each of two opposite vertices of a parallelogram such that each line intersects the extensions of the sides of the parallelogram at two points. Prove that the four points of intersection form a trapezium.
Suggested by G. Moussong, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Betűzzük a paralelogrammát és a metszéspontokat az ábra szerint. Azt akarjuk megmutatni, hogy az PR és az SQ szakasz párhuzamos egymással. Mivel AB||CD és AD||BC, a következők ekvivalensek:
(a) az PR és az SQ szakasz párhuzamos egymással;
(b) a BRB és DQS háromszögek hasonlók;
(c) .
A (c) állítást fogjuk igazolni.
A PBA és ADQ háromszögek hasonlók, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak, ezért
(1) |
A CBR és SDC háromszögek is hasonlók, és
(2) |
A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, így
(3). |
Az (1), (2) és (3) szorzata a (c) állítás.
2. megoldás. Alkalmazzuk a Papposz-tételt az A,P,Q és C,S,R ponthármasokra.
Statistics:
133 students sent a solution. 4 points: 90 students. 3 points: 33 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013