Problem B. 4585. (December 2013)
B. 4585. Prove that if x1x2
x3
x4
x5
0, then
. What is the condition for equality?
Suggested by P. Erben and J. Pataki, Budapest
(3 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az x1x2
x3
x4
x5
0 feltételből látjuk, hogy
(x1+x2+x3+x4+x5)2![]() | (1) |
és egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4.
Elég tehát azt igazolnunk, hogy
(2) |
Egy oldalra rendezve és szorzattá alakítva,
Mivel mindkét tényező nemnegatív, ez biztosan teljesül. Az egyenlőség feltétele, hogy valamelyik tényező 0 legyen. Az (x4-x5) tényező akkor tűnik el, ha x4=x5. A (7x4+23x5) tényező pedig, mivel a tagok nemnegatívak, csak úgy lehet 0, ha x4=x5=0. A (2)-ben az egyenlőség feltétele tehát az, hogy x4=x5.
Az (1) és a (2) együtt kiadja az állítást. Egyenlőség akkor van, ha x1=x2=x3=x4=x5.
Statistics:
175 students sent a solution. 3 points: 93 students. 2 points: 40 students. 1 point: 32 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013