Problem B. 4587. (December 2013)

B. 4587. Solve the equation $4^{x}-3^{x}=\mathop{\rm tg} 15^{\circ}$ .

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mint jól ismert,

$\tg 15^\circ = \tg (60^\circ-45^\circ) = \frac{\tg 60^\circ-\tg 45^\circ}{1+\tg 60^\circ\cdot\tg 45^\circ} = \frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3} = \frac{\big(\sqrt3-1\big)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)} = 2-\sqrt3 = 4^{1/2}-3^{1/2},$

ezért $x=\frac12$ megoldása az egyenletnek.

Az egyenlet baloldala

$4^x-3^x = 3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right).$

Ha x $\le$ 0, akkor ez nempozitív, így az egyenlet nem teljesülhet. A (0, $\infty$ ) félegyenesen pedig a $3^x \cdot \left(\bigg(\frac43\bigg)^x-1\right)$ kifejezés két pozitív, szigorúan növő függvény szorzata, ezért maga is szigorúan monoton nő. Így legfeljebb egy pozitív megoldás létezhet, amit már meg is találtunk.

Az egyenletnek egy valós megoldása van: $x=\frac12$ .

Statistics:

207 students sent a solution.

3 points: 67 students.

2 points: 96 students.

1 point: 30 students.

0 point: 9 students.

Unfair, not evaluated: 5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

207 students sent a solution.
3 points:	67 students.
2 points:	96 students.
1 point:	30 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?