Problem B. 4589. (December 2013)

B. 4589. Is there a natural number n for which the numbers $1^{10},2^{10},\ldots, n^{10}$ can be divided into 10 sets, such that the sum of the numbers in each set is the same?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az n=10¹¹-1 szám ilyen, és megadjuk az 1¹⁰,2¹⁰,...,n¹⁰ számok egy megfelelő csoportosítását is.

Tetszőleges k nemnegatív egészre jelölje S(k) a k szám számjegyösszegét tízes számrendszerben, és legyen R(k) az S(k) osztási maradéka 10-szel osztva. Például S(987)=24 és R(987)=4. A csoportokat 0-tól 9-ig számozzuk meg, és tetszőleges 1 $\le$ k $\le$ n-re a k¹⁰ számot tegyük az R(k)-adik csoportba. Azt akarjuk igazolni, hogy tetszőleges 0 $\le$ r $\le$ 9 esetén az r-edik csoportban a számok összege $\frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}$ . A 0-dik csoportban helyezzük el 0¹⁰-t is; ez nem változtatja meg az összegeket.

A 0 $\le$ k $\le$ 10¹¹-1 számot x₀+10x₁+10²x₂+...+10¹⁰x₁₀ alakban fogjuk felírni, ahol x₀,...,x₁₀ $\in$ {0,1,...,9} a k számjegyei 10-es számrendszerben. A zárójeleket felbontva,

$(x_0+10x_1+10^2x_2+\ldots+10^{10}x_{10})^{10} = \sum_{d_0+d_1+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}$

alkalmas $C_{d_0d_1\ldots d_{10}}$ konstansokkal; az esetleg fellépő 0⁰ alakú hatványokat 1-nek definiáljuk.

Az r-edik csoportban a számok összege

$\sum_{R(k)=r} k^{10} = \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} \left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =$

$= \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} \left( \sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right).$

(1)

Tekintsük az utolsó zárójelben áll összeget egy tetszőleges d₀,d₁,...,d₁₀ kitevősorozatra. Mivel d₀+...+d₁₀=0, a kitevők között legalább egyszer szerepel a 0. Legyen d_i az első ilyen. Ha az $x_0,\ldots,x_{i-1}$ és $x_{i+1},\ldots,x_{10}$ értékét ismerjük, akkor ezek egyértelműen meghatározzák az x_i számjegyet, ugyanakkor x_i nem befolyásolja x₀^d₀x₁^d₁...x₁₀^d₁₀ értékét. Azt is megtehetjük tehát, hogy az összes számjegysorozatra összegzünk (ezáltal az összeg 10-szeresét kapjuk), és osztunk 10-zel:

$\sum_{x_0+\ldots+x_{10}\,(10)} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} = \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}}.$

Ezt beírva (1)-be, majd visszacserélve a szummákat,

$\sum_{R(k)=r} k^{10} = \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} \left(\frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) =$

$= \frac1{10} \sum_{x_0=0}^9\sum_{x_1=0}^9\ldots\sum_{x_{10}=0}^9 \left( \sum_{d_0+\ldots+d_{10}=10} C_{d_0d_1\ldots d_{10}} x_0^{d_0} x_1^{d_1} \dots x_{10}^{d_{10}} \right) = \frac1{10}\sum_{k=0}^{n-1} k^{10}.$

A számok összege tehát valóban $\frac1{10}\sum_{k=1}^n k^{10}$ mindegyik csoportban.

Megjegyzés. Az (R(0),R(1),R(2),...) sorozat az úgynevezett (Prouhet-)Thue-Morse sorozat egy általánosítása.

Statistics:

10 students sent a solution.

6 points: Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.

0 point: 5 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

10 students sent a solution.
6 points:	Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Maga Balázs, Williams Kada.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?