Problem B. 4606. (February 2014)

B. 4606. Solve the equation

on the set of positive numbers.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy az \(\displaystyle x=1\) megoldása az egyenletnek. A továbbiakban azt fogjuk belátni, hogy az összes többi pozitív valós számra

\(\displaystyle \frac{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}+\cfrac{1}{x}\cdot 2014^x}{2}>2014. \)

Írjuk fel a pozitív \(\displaystyle a=x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\), \(\displaystyle b=\frac{1}{x}\cdot 2014^x\) számokra a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\,. \)

A bal oldal éppen az eredeti egyenlet bal oldala. A jobb oldal pedig a következőképpen alakítható:

\(\displaystyle \sqrt{ab} =\sqrt{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot \frac{1}{x}\cdot 2014^x} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot 2014^x}=\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}+x}}} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{x}}}}= \)

\(\displaystyle = 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}.\)

A továbbiakban belátjuk, hogy minden \(\displaystyle x\ne 1\) pozitív számra

\(\displaystyle 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}>2014. \)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez éppen

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x} >1, \)

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}-1 >0, \)

\(\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2x} >0, \)

\(\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2x} >0,\)

ami nyilván igaz.

Tehát az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, az 1.

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.)

Statistics:

160 students sent a solution.
3 points:	77 students.
2 points:	41 students.
1 point:	37 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014