Problem B. 4607. (February 2014)
B. 4607. The sides of a triangle are a, b, c. A line passes through the centre of the inscribed circle, and intersects side c at P, and side b at Q. Let AP=p and AQ=q. Prove that .
F. Kacsó, (Matlap, Kolozsvár)
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje a háromszög csúcsait a szokásos módon \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle O\), sugarát \(\displaystyle r\), az \(\displaystyle A\)-nál lévő szög pedig legyen \(\displaystyle \alpha\).
Írjuk fel az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét kétféleképpen:
\(\displaystyle T_{APQ}=\frac{pq\sin \alpha}{2} \quad \text{és} \quad T_{APQ}=T_{APO}+T_{AOQ}=\frac{pr}{2}+\frac{qr}{2}=\frac{(p+q)r}{2}. \)
Ebből kapjuk, hogy
\(\displaystyle \tag{1} pq\sin \alpha =(p+q)r.\)
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét kétféleképpen felírva pedig:
\(\displaystyle T_{ABC}=\frac{(a+b+c)r}{2}=\frac{bc\sin \alpha}{2}, \)
azaz
\(\displaystyle \tag{2} (a+b+c)r=bc\sin \alpha\)
adódik. Az (1) és (2) egyenlőségek megfelelő oldalait összeszorozva kapjuk, hogy
\(\displaystyle pq\sin \alpha \cdot (a+b+c)r=(p+q)r \cdot bc\sin \alpha, \)
amiből \(\displaystyle bcpqr\sin \alpha \ne 0\)-val való osztás és rendezés után a bizonyítandó
\(\displaystyle \frac{a+b+c}{bc} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \)
egyenlőséget kapjuk.
Török Zsombor (Bonyhád, Petőfi Sándor Ev. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján
Statistics:
77 students sent a solution. 5 points: 72 students. 4 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014