Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4619. (March 2014)

B. 4619. Solve the equation x^{2}-4x+3=\sqrt{1+\sqrt{x-1}}.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás (Érdemes tanulmányozni Ábrahám Gábor: Az \(\displaystyle f^{-1}(x)=f(x)\) típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelősége és egyéb érdekességek c. cikkét (KöMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml).) A négyzetgyök alatt nemnegatív szám áll: \(\displaystyle x\ge 1\). Mivel a jobb oldal ekkor pozitív, a bal oldal is az: \(\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\). Mivel \(\displaystyle x<1\) nem teljesülhet, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x>3\). Az egyenletet átrendezve:

(1)\(\displaystyle {(x-2)}^2+1=\sqrt{1+\sqrt{x-1}}+2.\)

Az \(\displaystyle f\colon (3;+\infty)\to (2;+\infty)\), \(\displaystyle f(x)= {(x-2)}^2+1\) függvény szigorúan monoton növekvő, bijektív az értelmezési tartományán, ezért invertálható. Inverz függvénye az \(\displaystyle f^{-1}\colon (2;+\infty)\to (3;+\infty)\), \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\). Vegyük itt mindkét oldal értékét \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\)-nél:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big) =\sqrt{1+\sqrt{x-1}}+2. \)

A jobb oldal épp (1) jobb oldala. Ezek alapján az egyenlet:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big)=f(x), \)

ami pontosan akkor igaz, ha \(\displaystyle f^{-1}(x)=f \big(f(x)\big)\), vagyis ha \(\displaystyle x=f \big(f\big(f(x)\big)\big)\).

Mivel az \(\displaystyle f\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle f(x)>x\) esetén \(\displaystyle f\big(f(x)\big)>f(x)>x\), amiből \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big)>f\big(f(x)\big) >f(x)>x\) következik. Hasonlóan, ha \(\displaystyle f(x)<x\), akkor \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big) <f\big(f(x)\big)<f(x)<x\).

Tehát \(\displaystyle x=f\big(f\big(f(x)\big)\big)\) csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle x=f(x)\), és ekkor valóban igaz is.

Így

\(\displaystyle {(x-2)}^2+1=x, \quad\text{amiből}\quad x^2-5x+5=0. \)

A megoldóképlet alapján \(\displaystyle x_{1,2}= \frac{5\pm\sqrt5}2\). Csak a nagyobb gyök teljesíti az \(\displaystyle x>3\) kikötést, vagyis \(\displaystyle x=\frac{5+\sqrt5}2\).

Behelyettesítve az eredeti egyenletbe, mindkét oldalon \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2\) adódik, tehát a megoldás jó.

Lengyel Ádám (Budapest, Városmajori Gimn. és Kós K. Ált. Isk., 11. évf.) megoldása alapján


Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:Andi Gabriel Brojbeanu, Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Juhász 326 Dániel, Kosztolányi Kata, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 777 Róbert, Osváth Tibor Attila, Pap Tibor, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simon Kristóf, Szebellédi Márton, Tóth 199 Viktor, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 points:Csabai Bence, Sütő Máté, Szajbély Zsigmond.
3 points:15 students.
2 points:17 students.
1 point:5 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014