Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4627. (April 2014)

B. 4627. The angle bisector drawn from right-angled vertex $\displaystyle C$ of triangle $\displaystyle ABC$ intersects the circumscribed circle at point $\displaystyle P$, and the angle bisector from vertex $\displaystyle A$ intersects the circumscribed circle at point $\displaystyle Q$. $\displaystyle K$ is the intersection of line segments $\displaystyle PQ$ and $\displaystyle AB$. The centre of the inscribed circle is $\displaystyle O$, and its point of tangency on side $\displaystyle AC$ is $\displaystyle E$. Prove that points $\displaystyle E$, $\displaystyle O$ and $\displaystyle K$ are collinear.

Suggested by Zs. Sárosdi, Veresegyház

(4 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen $\displaystyle CAB\sphericalangle =\alpha$, ekkor $\displaystyle CBA\sphericalangle =\beta=90^{\circ}-\alpha$. A kerületi szögek tétele miatt:

$\displaystyle CPA\sphericalangle =CBA\sphericalangle =90^{\circ}-\alpha,$

hasonlóan

$\displaystyle BAQ\sphericalangle =CAQ\sphericalangle =CPQ\sphericalangle =\frac{\alpha}{2}.$

Így $\displaystyle OAK\sphericalangle =OPK =\frac{\alpha}{2}$, ezért $\displaystyle OKPA$ húrnégyszög. Az $\displaystyle OKPA$ húrnégyszög köré írt körben $\displaystyle OKA\sphericalangle =OPA\sphericalangle =90^{\circ}-\alpha$, mivel azonos íven nyugvó kerületi szögek.

Hosszabbítsuk meg $\displaystyle OK$-t, legyen $\displaystyle OK$ és $\displaystyle AC$ metszéspontja $\displaystyle D$. A háromszög belső szögeinek összege $\displaystyle 180^{\circ}$, ezért

$\displaystyle KDA\sphericalangle =180^{\circ}-DKA\sphericalangle -DAK\sphericalangle =90^{\circ}.$

Így $\displaystyle KDA\sphericalangle =90^{\circ}$. Az $\displaystyle O$-nak az $\displaystyle AC$-re való merőleges vetülete az $\displaystyle E$ pont. Ebből következik, hogy $\displaystyle D=E$, tehát $\displaystyle E$, $\displaystyle O$ és $\displaystyle K$ kollineárisak.

Szebellédi Márton (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

### Statistics:

 68 students sent a solution. 4 points: 57 students. 3 points: 4 students. 2 points: 3 students. 1 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014