Problem B. 4633. (May 2014)

B. 4633. There are some points marked in the interior of a triangle, such that no three of them (including the vertices) are collinear. The points are connected to each other and to the vertices of the triangle so that the resulting line segments should not intersect, and the triangle should be divided into the largest possible number of smaller triangles. Prove that the number of small triangles formed is odd.

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a háromszög belsejében felvett pontok száma \(\displaystyle n\), a keletkezett kis háromszögek száma pedig \(\displaystyle k\). Mivel az összekötő szakaszokat úgy rajzoltuk meg, hogy a lehető legtöbb kis háromszöget kapjuk, azok az eredeti háromszöget csupa háromszögre bontják. Ha ugyanis lenne a felbontásban háromnál több oldalú sokszög, annak néhány megfelelő átlóját meghúzva további kis háromszögeket kapnánk.

Mivel bármely háromszögben a belső szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), a keletkezett kis háromszögek belső szögeinek összege \(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}\). E szögek összegét viszont úgy is megkaphatjuk, hogy egyrészt minden belső pontnál van \(\displaystyle 360^{\circ}\), másrészt az eredeti háromszög csúcsainál lévő összes szöget, azaz \(\displaystyle 180^{\circ }\)-ot is egyszer számolnunk kell. Tehát

\(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}=n\cdot 360^{\circ}+180^{\circ}. \)

Ebből kapjuk, hogy \(\displaystyle k=2n+1\), azaz a keletkezett kis háromszögek száma mindig páratlan.

Varga Péter, (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 11. évf.) dolgozatát felhasználva

Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:	93 students.
2 points:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014