Problem B. 4819. (October 2016)

B. 4819. Prove that if \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\), then

\(\displaystyle {(\tg x)}^{\sin x}+ {(\ctg x)}^{\cos x}\ge 2. \)

For what values of \(\displaystyle x\) does the equality hold?

(Kvant)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle 0<x<\pi/4\), akkor \(\displaystyle \sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos x\) és \(\displaystyle \tg x<1<\ctg x\), ezért

\(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}>(\tg x)^{\sqrt{2}/2}+(\ctg x)^{\sqrt{2}/2}\geq 2,\)

ahol az első egyenlőtlenség az exponenciális függvény monotonitása, a második pedig a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség alapján teljesül. Ha \(\displaystyle \pi/4<x<\pi/2\), akkor \(\displaystyle \sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}>\cos x\) és \(\displaystyle \tg x>1>\ctg x\), amiből az előzőekhez teljesen hasonlóan következik, hogy \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}> 2\). Végül, ha \(\displaystyle x=\pi/4\), akkor \(\displaystyle \tg x=\ctg x=1\), és így \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}= 2\). Ezzel az egyenlőtlenséget igazoltuk, és azt is megmutattuk, hogy pontosan \(\displaystyle x=\pi/4\) esetén teljesül egyenlőség.

Statistics:

113 students sent a solution.
5 points:	90 students.
4 points:	10 students.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016