Problem B. 4829. (November 2016)

B. 4829. Cover the surface of the unit sphere with great circles, such that every point is contained in at most four great circles.

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az adott \(\displaystyle S\) gömbfelület középpontja az \(\displaystyle O\) origóban. Ha \(\displaystyle k\) egy főkör, \(\displaystyle P\) pedig az \(\displaystyle S\) olyan pontja, amelyre \(\displaystyle OP\) merőleges \(\displaystyle k\) síkjára, akkor azt mondjuk, hogy \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle k\) pólusa, a \(\displaystyle k\) kör pedig a \(\displaystyle P\) polárisa. Minden főkörnek pontosan kettő, egymással átellenes pólusa van, és minden pont egyértelműen meghatározza a polárisát.

Tekintsük az \(\displaystyle x=1/\sqrt 2\) és az \(\displaystyle y=1/\sqrt 2\) síkokat, ezek a \(\displaystyle S\) gömbfelületet a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) (egymást érintő) körökben metszik. Tekintsük a \(\displaystyle k_1\cup k_2\)-ben lévő pontok polárisait. Azt állítjuk, hogy ez a konstrukció minden kívánalomnak eleget tesz.

Legyen \(\displaystyle X\) a gömbfelület tetszőleges pontja. Az \(\displaystyle X\) pont pontosan annyiszor van lefedve, ahányszor polárisa (\(\displaystyle k_X\)) metszi \(\displaystyle k_1\cup k_2\)-t, ugyanis \(\displaystyle k_X\) éppen az \(\displaystyle X\)-re illeszkedő főkörök pólusainak halmaza.

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle k_X\) pontosan akkor metszi a \(\displaystyle k_1\) (ill. \(\displaystyle k_2\)) kört, ha \(\displaystyle OX\) az \(\displaystyle x\)-tengellyel (ill. \(\displaystyle y\)-tengellyel) legalább \(\displaystyle 45\) fokos szöget zár be.

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle X\) valóban le van fedve. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle k_X\cap k_1=\emptyset\) (különben kész vagyunk). Ekkor \(\displaystyle OX\) az észrevételünk miatt az \(\displaystyle x\)-tengellyel legfeljebb \(\displaystyle 45\) fokos szöget zár be, így viszont \(\displaystyle OX\) \(\displaystyle y\)-tengellyel bezárt szöge legalább \(\displaystyle 45^\circ\), ezért \(\displaystyle k_X\) metszi \(\displaystyle k_2\)-t, vagyis \(\displaystyle X\) valóban le van fedve.

Végül, mivel két különböző körvonal legfeljebb két pontban metszheti egymást, rögtön kapjuk, hogy \(\displaystyle X\) valóban legfeljebb négyszeresen fedett. Ezzel beláttuk, hogy a megadott konstrukció helyes.

Megjegyzés. Kapcsolódó cikk: Havalampijev, Sz. C.: Pólus és poláris körben (fordította Kós Géza). (Mozilla alatt jelenik meg jól.)

Statistics:

40 students sent a solution.
5 points:	Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Hansel Soma, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Imolay András, Kerekes Anna, Klász Viktória, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Schrettner Jakab, Schweitzer Ádám, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szakály Marcell, Szemerédi Levente, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Várkonyi Dorka, Zólomy Kristóf.
4 points:	Beke Csongor, Keresztfalvi Bálint, Kiss Gergely, Márton Dénes, Szabó Kristóf, Umann Dávid.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016