Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4858. (March 2017)

B. 4858. Points $\displaystyle A$ and $\displaystyle B$ are separated by a unit distance. The unit circles $\displaystyle k_A$ and $\displaystyle k_B$ centred at $\displaystyle A$ and $\displaystyle B$ intersect at points $\displaystyle C$ and $\displaystyle D$, respectively. Let $\displaystyle k_C$ denote the circle centred at $\displaystyle C$ and passing through $\displaystyle D$. $\displaystyle F$ is that intersection of line $\displaystyle AC$ and circle $\displaystyle k_C$ which is farther away from $\displaystyle A$. $\displaystyle G$ is the other intersection of circle $\displaystyle k_A$ and line $\displaystyle DF$. Show that $\displaystyle \angle GAD=90^\circ$.

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle ADB$ egyenlő oldalúak, ezért az $\displaystyle ACD$ egyenlőszárú háromszögben $\displaystyle A\angle=120^\circ$ és $\displaystyle C\angle=D\angle=30^\circ$. Így a $\displaystyle CFD$ egyenlőszárú háromszögben $\displaystyle C\angle=150^{\circ}$ és $\displaystyle D\angle=15^\circ$. A $\displaystyle k_A$ kör $\displaystyle CG$ íven nyugvó kerületi szögei $\displaystyle GDC\angle=CEG\angle=15^\circ$, s így $\displaystyle GAE$ egyenlőszárú háromszögben $\displaystyle A\angle=150^\circ$. Mivel a $\displaystyle DAE\triangle$ szabályos, $\displaystyle GAD\angle=GAE\angle-DAE\angle=150^\circ-60^\circ=90^\circ$, ahogy állítottuk.

### Statistics:

 105 students sent a solution. 3 points: 98 students. 2 points: 6 students. 0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017