Problem B. 4860. (March 2017)

B. 4860. Assume that \(\displaystyle a<b<c<d\) and \(\displaystyle a+d\ne b+c\). Show that the equation

\(\displaystyle \frac1{a-x}-\frac1{b-x}-\frac{1}{c-x}+\frac1{d-x}=0 \)

has exactly two distinct roots, such that one of them lies in the interval \(\displaystyle (b,c)\), and the other one lies outside the interval \(\displaystyle (a,d)\).

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést \(\displaystyle (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)\)-szel beszorozva az

\(\displaystyle f(x)=(b-x)(c-x)(d-x)-(a-x)(c-x)(d-x)-(a-x)(b-x)(d-x)+(a-x)(b-x)(c-x)\)

polinomot kapjuk. Világos, hogy \(\displaystyle f\) egy legfeljebb harmadfokú polinom. Mivel \(\displaystyle f\)-ben \(\displaystyle x^3\) együtthatója \(\displaystyle -1-(-1)-(-1)-1=0\), azonban \(\displaystyle x^2\) együtthatója \(\displaystyle (b+c+d)-(a+c+d)-(a+b+d)+(a+b+c)=b+c-a-d\ne 0\), ezért \(\displaystyle f\) másodfokú. Mivel \(\displaystyle f\)-nek az \(\displaystyle a,b,c,d\) számok egyike sem gyöke, így \(\displaystyle f\) gyökei éppen az eredeti egyenlet megoldásai. Behelyettesítve az \(\displaystyle a,b,c,d\) értékeket látható, hogy \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) pozitív, \(\displaystyle f(c)\) és \(\displaystyle f(d)\) pedig negatív. Vagyis \(\displaystyle f\) pozitív és negatív értéket is felvesz, így két gyöke van, melyek közül (pontosan) az egyik a \(\displaystyle (b,c)\) intervallumba esik. Mivel \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) egyaránt pozitívak, ezért \(\displaystyle f\) másik gyöke nem \(\displaystyle [a,b]\)-be esik, és ehhez hasonlóan látható, hogy nem is \(\displaystyle [c,d]\)-be. Tehát a másik gyöke nem eleme az \(\displaystyle (a,d)\) intervallumnak.

Ezzel a feladat állításait igazoltuk.

Statistics:

35 students sent a solution.
3 points:	Csahók Tímea, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Noszály Áron, Póta Balázs, Simon Dániel Gábor, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
2 points:	Deák Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Lajkó Áron, Mikulás Zsófia, Richlik Róbert.
1 point:	13 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017