Problem B. 4880. (May 2017)

B. 4880. In the sequence \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), ... of positive integers, \(\displaystyle a_n\cdot a_{n+1} = a_{n+2}\cdot a_{n+3}\) for all positive integers \(\displaystyle n\). Show that the sequence is eventually periodic.

Proposed by M. E. Gáspár, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltétel szerint \(\displaystyle a_1a_2=a_3a_4=a_5a_6=\dots=a_{2k-1}a_{2k}\) teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle k\)-ra. Ebből következik, hogy a sorozat összes eleme osztója az \(\displaystyle a_1a_2=M\) pozitív egész számnak, speciálisan az is teljesül, hogy minden elem egy, az \(\displaystyle [1, M]\) intervallumba eső pozitív egész szám. Tekintsük az \(\displaystyle (a_n,a_{n+1},a_{n+2})\) (rendezett) számhármasokat. Egy ilyen számhármas legfeljebb \(\displaystyle M^3\) féle lehet, így előbb-utóbb lesz ismétlődés (hiszen \(\displaystyle n\) bármilyen pozitív egész szám lehet), legyen az első ismétlődés \(\displaystyle (a_m,a_{m+1},a_{m+2})=(a_{m+d},a_{m+d+1},a_{m+d+2})\), ahol \(\displaystyle d\) pozitív egész szám. Vagyis \(\displaystyle a_n=a_{n+d}\) teljesül \(\displaystyle n=m,m+1,m+2\) esetén. Megmutatjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\geq m+3\) esetén is teljesül, ami azt jelenti, hogy a sorozat periodikus \(\displaystyle d\) periódussal. Az indukciós lépéshez tegyük fel, hogy az állítást \(\displaystyle m,m+1,m+2,\dots, n-2, n-1\) esetén már igazoltuk (\(\displaystyle n\geq m+3\)), megmutatjuk, hogy \(\displaystyle n\)-re is teljesül. A megadott egyenleteket használva:

\(\displaystyle a_{n+d}=\frac{a_{n+d-3}a_{n+d-2}}{a_{n+d-1}}= \frac{a_{n-3}a_{n-2}}{a_{n-1}}=a_n,\)

hiszen \(\displaystyle n-3,n-2,n-1\) értékekre már igazoltuk az állítást. Tehát teljes indukcióval következik, hogy \(\displaystyle a_n=a_{n+d}\) teljesül minden \(\displaystyle n\geq m\) esetén, vagyis a sorozat periodikus.

Megjegyzés. Az is igaz, hogy a sorozat tisztán periodikus, ehhez elég belátni, hogy az első ismétlődésnél szükségképpen \(\displaystyle m=1\). Ha \(\displaystyle m>1\) lenne, akkor a feltételt, és \(\displaystyle (a_m,a_{m+1},a_{m+2})=(a_{m+d},a_{m+d+1},a_{m+d+2})\)-et használva

\(\displaystyle a_{m+d-1}=\frac{a_{m+d+1}a_{m+d+2}}{a_{m+d}}= \frac{a_{m+1}a_{m+2}}{a_{m}}=a_{m-1},\)

és így \(\displaystyle (a_{m-1},a_{m},a_{m+1})=(a_{m+d-1},a_{m+d},a_{m+d+1})\) következne, ami ellentmondana \(\displaystyle m\) minimális választásának.

Statistics:

66 students sent a solution.
4 points:	Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Horváth Péter, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kocsis Júlia, Kovács 654 Áron , Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Lakatos Ádám, Márton Dénes, Móricz Aurél, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Póta Balázs, Riedel Zsuzsanna, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Sulán Ádám, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth-Rohonyi Iván, Török Ádám, Vári-Kakas Andor, Velkey Vince, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 points:	15 students.
2 points:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017