Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4885. (September 2017)

B. 4885. Let \(\displaystyle k\) and \(\displaystyle m\) be two distinct 14-digit positive integers, each containing two of each digit 1, 2, 3, 4, 5, 6 and 7 (like 22133456456717, for example). Prove that \(\displaystyle \frac km\) cannot be an integer.

(M&IQ)

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 9-cel való oszthatósági szabály szerint a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) számok 9-es maradéka ugyanannyi, mint a \(\displaystyle 2(1+2+3+4+5+6+7)=56\) szám 9-es maradéka, ami 2. Ha \(\displaystyle \frac{k}{m}=t\) egész lenne, akkor \(\displaystyle k=tm\) miatt a \(\displaystyle tm-k\) szám 9-cel osztható lenne. Mivel a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) számok 9-es maradéka 2, ezért \(\displaystyle 9|2t-2=2(t-1)\) is teljesülne, ami csak akkor áll fenn, ha a \(\displaystyle t\) szám 9-es maradéka 1. Mivel \(\displaystyle k\ne m\) és \(\displaystyle k,m\) pozitívak, ezért \(\displaystyle t=k/m\) csak olyan egész szám lehetne, ami 1-nél nagyobb, és a 9-es maradéka 1. A legkisebb ilyen szám a 10, vagyis \(\displaystyle k/m\geq 10\)-nek kellene teljesülnie, ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) egyaránt 14-jegyű számok.


Statistics:

186 students sent a solution.
4 points:106 students.
3 points:60 students.
2 points:10 students.
1 point:6 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017