Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4886. feladat (2017. szeptember)

B. 4886. Hányféle konvex poliédert határoznak meg egy adott kocka csúcsai? (Két poliédert akkor tekintünk különbözőnek, ha nem egybevágók.)

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A leszámlálást célszerű a csúcsok száma szerint végezni.

\(\displaystyle 8\) csúcsú test egy darab van, maga a kocka.

\(\displaystyle 7\) csúcsú poliéder szintén egy darab van.

Kettő csúcsot háromféleképpen hagyhatunk el: egy él két végpontját, egy lapátló két végpontját vagy egy testátló két végpontját. Így \(\displaystyle 6\) csúcsú poliédert háromféleképpen kapunk.

Ha \(\displaystyle 5\) csúcsot választunk ki, akkor a kocka valamely két párhuzamos lapja közül az egyikre legalább három kiválasztott csúcs illeszkedik. Olyan \(\displaystyle 5\) csúcsú poliéder, aminek valamely négy csúcsa illeszkedik a kocka egy lapjára, egyféle van. Most tegyük fel, hogy nincs négy ilyen csúcs, és válasszuk ki a kocka egy lapját, amire pontosan három kiválasztott csúcs esik. Ezt a három csúcsot a lapon egyféleképpen rögzíthetjük, a kocka ezzel párhuzamos lapjája illeszkedő további két csúcs kiválasztásával ezután további kétféle különböző poliédert kaphatunk. Így \(\displaystyle 5\) csúcsú megfelelő poliéderből három különböző van.

Végül a \(\displaystyle 4\) csúcsú poliédereket (tetraédereket) számoljuk meg. Először tegyük fel, hogy a tetraéder semelyik \(\displaystyle 3\) csúcsa nem illeszkedik a kocka egy lapjára. Könnyű meggondolni, hogy ilyenkor egy szabályos tetraédert kapunk, amelynek csúcsai két párhuzamos lapon lévő kitérő lapátlók végpontjai. Ha a kocka valamely lapjára a tetraéderünknek \(\displaystyle 3\) csúcsa is illeszkedik, a negyedik csúcsot a kocka párhuzamos lapján ismét háromféleképpen választhatjuk, tehát \(\displaystyle 4\) csúcsú poliéderből is négy különböző van.

Tehát összesen \(\displaystyle 12\) különböző poliédert határoznak meg a kocka csúcsai.


Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Bán-Szabó Áron, Biczó Benedek, Bukva Dávid, Espán Márton, Fitos Bence, Gyetvai Miklós, Győrffy Johanna, Hervay Bence, Jedlovszky Pál, Kocsis Anett, Kószó Máté József, Le Julianna Phuonglinh, Nagy Dorottya, Perényi Gellért, Rittgasszer Ákos, Szarka Álmos, Székely György, Török Mátyás, Varsányi András, Vida Tamás, Weisz Viktória, Williams Hajna, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:Albert Márton, Alexy Milán, Argay Zsolt, Beke Csongor, Csala Bálint, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Galovics Gábor, Geretovszky Anna, Keszte Panna, Kitschner Bernadett, Kovács 439 Boldizsár, Kovács 526 Tamás, Kulcsár Boglárka, Ladányi Dániel, Lipthay Hanna, Soós 314 Máté, Szőnyi Laura, Tóth Ábel, Varga 256 Péter.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:37 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai