Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4886. (September 2017)

B. 4886. How many different convex polyhedra are determined by the vertices of a cube? (Two polyhedra are considered different if they are not congruent.)

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A leszámlálást célszerű a csúcsok száma szerint végezni.

\(\displaystyle 8\) csúcsú test egy darab van, maga a kocka.

\(\displaystyle 7\) csúcsú poliéder szintén egy darab van.

Kettő csúcsot háromféleképpen hagyhatunk el: egy él két végpontját, egy lapátló két végpontját vagy egy testátló két végpontját. Így \(\displaystyle 6\) csúcsú poliédert háromféleképpen kapunk.

Ha \(\displaystyle 5\) csúcsot választunk ki, akkor a kocka valamely két párhuzamos lapja közül az egyikre legalább három kiválasztott csúcs illeszkedik. Olyan \(\displaystyle 5\) csúcsú poliéder, aminek valamely négy csúcsa illeszkedik a kocka egy lapjára, egyféle van. Most tegyük fel, hogy nincs négy ilyen csúcs, és válasszuk ki a kocka egy lapját, amire pontosan három kiválasztott csúcs esik. Ezt a három csúcsot a lapon egyféleképpen rögzíthetjük, a kocka ezzel párhuzamos lapjája illeszkedő további két csúcs kiválasztásával ezután további kétféle különböző poliédert kaphatunk. Így \(\displaystyle 5\) csúcsú megfelelő poliéderből három különböző van.

Végül a \(\displaystyle 4\) csúcsú poliédereket (tetraédereket) számoljuk meg. Először tegyük fel, hogy a tetraéder semelyik \(\displaystyle 3\) csúcsa nem illeszkedik a kocka egy lapjára. Könnyű meggondolni, hogy ilyenkor egy szabályos tetraédert kapunk, amelynek csúcsai két párhuzamos lapon lévő kitérő lapátlók végpontjai. Ha a kocka valamely lapjára a tetraéderünknek \(\displaystyle 3\) csúcsa is illeszkedik, a negyedik csúcsot a kocka párhuzamos lapján ismét háromféleképpen választhatjuk, tehát \(\displaystyle 4\) csúcsú poliéderből is négy különböző van.

Tehát összesen \(\displaystyle 12\) különböző poliédert határoznak meg a kocka csúcsai.


Statistics:

94 students sent a solution.
3 points:Biczó Benedek, Bukva Dávid, Espán Márton, Fitos Bence, Gyetvai Miklós, Győrffy Johanna, Hervay Bence, Jedlovszky Pál, Kocsis Anett, Kószó Máté József, Le Julianna Phuonglinh, Nagy Dorottya, Perényi Gellért, Rittgasszer Ákos, Szarka Álmos, Székely György, Török Mátyás, Varsányi András, Vida Tamás, Weisz Viktória, Williams Hajna, Zsigri Bálint.
2 points:Albert Márton, Alexy Milán, Argay Zsolt, Beke Csongor, Csala Bálint, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Galovics Gábor, Geretovszky Anna, Keszte Panna, Kitschner Bernadett, Kovács 439 Boldizsár, Kovács 526 Tamás, Kulcsár Boglárka, Ladányi Dániel, Lipthay Hanna, Soós 314 Máté, Szőnyi Laura, Tóth Ábel, Varga 256 Péter.
1 point:13 students.
0 point:37 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017