Problem B. 4887. (September 2017)

B. 4887. Prove that there are infinitely many number pairs \(\displaystyle (a,b)\), such that \(\displaystyle a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{a}\), where \(\displaystyle a\ne b\). Find the possible values of \(\displaystyle ab\).

(Proposed by J. Szoldatics, Budapest)

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az \(\displaystyle a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{a}\) egyenletet átrendezhetjük \(\displaystyle a-\frac{1}{a}=b-\frac{1}{b}\) alakba. Vagyis az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számokra annak kell teljesülnie, hogy az \(\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}\) függvény ugyanazt az értéket veszi fel \(\displaystyle a\)-ban és \(\displaystyle b\)-ben: \(\displaystyle f(a)=f(b)\). Vizsgáljuk meg, mely \(\displaystyle c\)-kre lehet ez a közös érték éppen \(\displaystyle c\). Az \(\displaystyle f(x)=c\) egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^2-cx-1=0\). Az így kapott másodfokú egyenletnek minden \(\displaystyle c\)-re két különböző valós megoldása van, mert a diszkriminánsa pozitív: \(\displaystyle c^2+4>0\). Tehát az egyenlet két megoldása minden valós \(\displaystyle c\)-re egy megfelelő számpárt alkot, vagyis végtelen sok ilyen számpár van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggésből az egyenlet két gyökének szorzata (\(\displaystyle c\) értékétől függetlenül) mindig \(\displaystyle -1\), vagyis minden megfelelő számpárra \(\displaystyle ab=-1\).

2. megoldás. Az egyenletet rendezzük egy oldalra, szorozzuk meg \(\displaystyle ab\neq0\)-val, és emeljük ki \(\displaystyle (a-b)\)-t:

\(\displaystyle a-b+\frac{1}{b}-\frac{1}{a} = 0 \)

\(\displaystyle a^2b-ab^2+a-b = 0 \)

\(\displaystyle (a-b)(ab+1) = 0. \)

A feltétel szerint \(\displaystyle a-b\ne0\), így biztosan \(\displaystyle ab+1=0\), vagyis

\(\displaystyle ab = -1. \)

Ha \(\displaystyle a\neq0\) tetszőleges valós szám, akkor \(\displaystyle b=\frac{-1}{a}\) választással \(\displaystyle ab=-1\) és \(\displaystyle a\neq b\) is teljesül. Ekkor a lépéseink megfordíthatók, hiszen sem \(\displaystyle a\), sem \(\displaystyle b\), sem \(\displaystyle a-b\) nem lehet nulla, tehát az \(\displaystyle a-\frac1a=b-\frac1b\) egyenlet biztosan teljesül.

Tehát valóban végtelen sok megfelelő \(\displaystyle (a,b)\) számpár van, melyek mindegyikére \(\displaystyle ab=-1\).

Statistics:

258 students sent a solution.
3 points:	161 students.
2 points:	65 students.
1 point:	22 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017