Problem B. 4888. (September 2017)

B. 4888. From his third birthday onwards, Sebastian always gets a birthday cake shaped like a triangular prism, with one candle in each of the three upper vertices, and as many further candles on the top as needed to make the total equal to his age. No three candles are collinear. Sebastian wants to cut the cake into triangular pieces with vertices at the positions of the candles, without other candles in the interior of the triangles. How many pieces can he form on his \(\displaystyle k\)th birthday?

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle t\) a szeletek száma. A szeletek által meghatározott \(\displaystyle t\) darab háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle t\cdot 180^\circ\). Most ugyanezt megszámoljuk másképpen is. A \(\displaystyle k\) darab gyertya közül 3 van a torta csúcsaiban, az ezeknél kialakuló szögek összege \(\displaystyle 180^\circ\). A többi \(\displaystyle k-3\) gyertya a tortát alkotó háromszög belsejében van, ezért ezek mindegyike körül a kialakuló szögek összege \(\displaystyle 360^\circ\). Vagyis \(\displaystyle t\cdot 180^\circ= 180^\circ+(k-3)\cdot 360^\circ\), amiből \(\displaystyle t=2k-5\). Tehát a szeletek száma csak \(\displaystyle 2k-5\) lehet. Meg kell még mutatnunk, hogy ennyi valóban lehet is.

Ezt például a következő módon valósíthatjuk meg. Kezdetben egy nagy háromszög alakú szeletünk van, maga az egész torta. Ha van olyan gyertya, amelyik egy szelet belsejében van (kezdetben ez pontosan \(\displaystyle k>3\) esetén fog teljesülni), akkor válasszunk ki egy ilyet, és azt a szeletet, amelyiknek a belsejében ez a gyertya van vágjuk fel három kisebb szeletre úgy, hogy a vágást alkotó szakaszok ezt a gyertyát kötik össze a szelet csúcsaival. így az egyik szeletet három kisebb szeletre vágtuk, és már csak 1-gyel kevesebb olyan gyertya van, ami nem szelet csúcsában található. Ezt a lépést ismételgetve, \(\displaystyle k-3\) ilyen lépés után elfogynak az ilyen gyertyák, és megfelelő háromszögelést kapunk. Le is ellenőrizhetjük, hogy valóban \(\displaystyle 1+2(k-3)=2k-5\) szeletet kapunk, de ez már a fenti bizonyításból is következett, itt csak azt kellett megmutatnunk, hogy a háromszögelés egyáltalán elvégezhető.

Statistics:

201 students sent a solution.
4 points:	120 students.
3 points:	63 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017