Problem B. 4890. (September 2017)

B. 4890. Solve the following equation on the set of positive integers:

\(\displaystyle x-y-\frac xy-\frac{x^3}{y^3}+\frac{x^4}{y^4} = 2017. \)

(Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle x\)-nek oszthatónak kell lennie \(\displaystyle y\)-nal. Ehhez a számelmélet alaptétele szerint elég megmutatnunk, hogy nem létezik olyan prím, ami magasabb kitevővel szerepel \(\displaystyle y\) prímtényezős felbontásában, mint \(\displaystyle x\)-ében. Tegyük fel indirekten, hogy van ilyen \(\displaystyle p\) prím, és legyen az \(\displaystyle x,y\) számok kanonikus alakjában \(\displaystyle p\) kitevője rendre \(\displaystyle \alpha\), illetve \(\displaystyle \beta\), ahol \(\displaystyle \alpha<\beta\).

Ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egészek, akkor

\(\displaystyle 2017-x+y=\frac{x^4}{y^4}-\frac{x^3}{y^3}-\frac{x}{y}=\frac{x^4-x^3y-xy^3}{y^4}\)

is egész kell legyen. Vizsgáljuk meg, hogy \(\displaystyle p\)-nek hanyadik hatványa osztja a számlálót, illetve a nevezőt. Világos, hogy a nevező osztható \(\displaystyle p^{4\beta}\)-val. A számlálóban szereplő kifejezések kanonikus alakjában \(\displaystyle p\) kitevője rendre \(\displaystyle 4\alpha, 3\alpha+\beta,\alpha+3\beta\). Mivel \(\displaystyle \alpha<\beta\), ezért \(\displaystyle 4\alpha<3\alpha+\beta<\alpha+3\beta<4\beta\). Ezért \(\displaystyle x^4-x^3y-xy^3\)-ben \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle 4\alpha\), hiszen \(\displaystyle \frac{x^4}{p^{4\alpha}}-\frac{x^3y}{p^{4\alpha}}-\frac{xy^3}{p^{4\alpha}}\) (ami persze egész szám) már nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, mert az első tag nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, a másik kettő viszont igen. Vagyis a számláló nem osztható \(\displaystyle p^{4\beta}\)-val, de a nevező igen, ami ellentmondás.

Tehát \(\displaystyle y\mid x\), legyen \(\displaystyle x=ky\), ahol \(\displaystyle k\) pozitív egész szám. Az egyenletben \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle ky\)-t helyettesítve:

\(\displaystyle ky-y-k-k^3+k^4=2017.\)

Mindkét oldalhoz 1-et adva és a bal oldalon \(\displaystyle (k-1)\)-et kiemelve:

\(\displaystyle (k-1)(y+k^3-1)=2018.\)

Ekkor \(\displaystyle k\ne 1\), így mivel \(\displaystyle k\geq 2\) és \(\displaystyle y\) pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle y+k^3-1\) és \(\displaystyle k-1\) is pozitív egész számok, amelyekre \(\displaystyle k-1\leq k^3-1< y+k^3-1\) is teljesül. A \(\displaystyle 2018\) szám prímtényezős felbontása: \(\displaystyle 2018=2\cdot 1009\), így két pozitív egész szám szorzataként kétféleképpen áll elő: \(\displaystyle 1\cdot 2018\), illetve \(\displaystyle 2\cdot 1009\).

Az első esetben \(\displaystyle k=2\), és így \(\displaystyle y=2018-2^3+1=2011\) és \(\displaystyle x=2\cdot 2011=4022\).

A második esetben pedig \(\displaystyle k=3\), és így \(\displaystyle y=1009-3^3+1=983\) és \(\displaystyle x=3\cdot 983=2949\).

A két kapott számpár valóban megoldást ad. Tehát a megoldások: \(\displaystyle x=4022\) és \(\displaystyle y=2011\), valamint \(\displaystyle x=2949\) és \(\displaystyle y=983\).

Statistics:

126 students sent a solution.
5 points:	Busa 423 Máté, Csépányi István, Csizmadia Viktória, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Jedlovszky Pál, Mátravölgyi Bence, Molnár Bálint, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Noszály Áron, Pituk Gábor, Póta Balázs, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth-Rohonyi Iván, Velkey Vince, Weisz Máté.
4 points:	33 students.
3 points:	23 students.
2 points:	23 students.
1 point:	8 students.
0 point:	13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017