Problem B. 4893. (September 2017)

B. 4893. In a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle AB\ne BC\). The angle bisector drawn from point \(\displaystyle B\) intersects side \(\displaystyle AC\) at point \(\displaystyle D\), and intersects the circumscribed circle again at point \(\displaystyle E\). The circle of diameter \(\displaystyle DE\) intersects the circumscribed circle again at a point \(\displaystyle F\), different from \(\displaystyle E\). Prove that the reflection of line \(\displaystyle BF\) about the line \(\displaystyle BD\) results in a median of triangle \(\displaystyle ABC\).

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok szerepe felcserélhető, így az állítást elég abban az esetben igazolnunk, ha \(\displaystyle AB<BC\).

Legyen \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontja; ekkor tehát \(\displaystyle BM\) a háromszög \(\displaystyle B\)-ből induló súlyvonala. Azt fogjuk megmutatni, hogy \(\displaystyle MBD\sphericalangle=DBF\sphericalangle\); ebből már következik, hogy a \(\displaystyle BM\) súlyvonal és a \(\displaystyle BF\) egyenes szimmetrikus a \(\displaystyle BE\) egyenesre.

A háromszögben a \(\displaystyle BE\) szögfelező felezi körülírt kör \(\displaystyle B\)-vel szemközti \(\displaystyle AB\) ívét; az \(\displaystyle E\) pont tehát ennek a körívnek a felezőpontja. Az \(\displaystyle AC\) oldal felező merőlegese az \(\displaystyle EM\) egyenes; így az \(\displaystyle M\) pontból a \(\displaystyle DE\) szakasz derékszögben látszik, tehát a Thalész-tétel megfordítása szerint a \(\displaystyle DE\) átmérőjű kör az \(\displaystyle M\) ponton is átmegy.

Legyen \(\displaystyle G\) a körülírt körben a másik, \(\displaystyle B\)-t tartalmazó \(\displaystyle CA\) ív felezőpontja, amely szintén az \(\displaystyle AC\) oldal felező merőlegesén van. A körülírt körben \(\displaystyle EG\), a \(\displaystyle DEFM\) körben \(\displaystyle DE\) átmérő, ezért a Thalész-tétel szerint \(\displaystyle GFE\sphericalangle=90^\circ\), illetve \(\displaystyle DFE\sphericalangle=90^\circ\); A \(\displaystyle GF\) és a \(\displaystyle DF\) szakasz is merőleges \(\displaystyle EF\)-re, tehát a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontok egy egyenesen vannak.

Szintén a Thalész-tétel miatt a körülírt körben \(\displaystyle GBE\sphericalangle=90^\circ\). A \(\displaystyle BDMG\) négyszögnek az egymással szemközti \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle M\) csúcsoknál derékszöge van, ezért \(\displaystyle BDMG\) húrnégyszög.

Végül a \(\displaystyle BDMG\), majd a \(\displaystyle BFEG\) húrnégyszögekben alkalmazva a kerületi szögek tételét láthatjuk, hogy

\(\displaystyle MBD\sphericalangle= MGD\sphericalangle= EGF\sphericalangle= EBF\sphericalangle= DBF\sphericalangle, \)

és ezt akartuk igazolni.

Statistics:

53 students sent a solution.
6 points:	Asztalos Ádám, Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csépányi István, Csertán András, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Harsányi Benedek, Janzer Orsolya Lili, Karácsony Márton, Kerekes Anna, Kovács Vince, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Nagymihály Panka, Nguyen Thac Bach, Noszály Áron, Pituk Gábor, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Sulán Ádám, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szabó 997 Balázs István, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Velkey Vince, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
5 points:	Hoffmann Balázs, Kántor András Imre, Lukács Lilla Réka, Szécsényi Nándor.
4 points:	2 students.
3 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017