Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4894. (October 2017)

B. 4894. Seven thieves have stolen some golden coins, and now each of them takes a share of the loot in the following manner. They proceed in alphabetical order of their names, and everyone takes as many coins as the sum of the digits of the number of coins in the heap not distributed yet. The last coin is removed when two full circles are completed. It turns out that everyone has received the same number of coins, only the chief got more. What was the position of the chief in the alphabetical order?

Matlap, Kolozsvár

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 9-cel való oszthatósági szabály alapján az első elvétel után már mindig 9-cel osztható lesz a még megmaradt tallérok száma, és így az egyes lépésekben elvett tallérok száma is. (Hiszen a zsákmányolt aranytallérok számának 9-es maradéka ugyanannyi, mint az elsőként elvett tallérok számának.) Az \(\displaystyle i\)-edik elvétel előtt még meglévő tallérok számát jelölje \(\displaystyle a_i\). Tekintsük az utolsó (vagyis 14-edik) elvételt. Mivel a tallérok elfogynak, ezért ezt megelőzően a tallérok száma csak egyjegyű szám lehetett, hiszen a legalább kétjegyű számok nagyobbak számjegyeik összegénél. Mivel az elvett tallérok száma 9-cel osztható, ezért csak \(\displaystyle a_{14}=9\) lehetett. Innen visszafelé haladva meg tudjuk határozni az \(\displaystyle a_i\) számokat. Ha ugyanis a tallérok száma valamikor \(\displaystyle \overline{b_kb_{k-1}\dots b_1b_0}=\sum\limits_{i=0}^k b_i\cdot 10^i\), akkor a soron következő elvétel után

\(\displaystyle \sum\limits_{i=0}^k b_i\cdot 10^i- \sum\limits_{i=0}^k b_i=\sum\limits_{i=1}^k (10^i-1)b_i\geq (10^k-1)b_k\geq 10^k-1\)

tallér marad. Ez speciálisan azt is jelenti, hogy mikor először 100 alá csökken a tallérok száma, akkor legalább (és így pontosan) \(\displaystyle 10^2-1=99\) tallér lesz. Vagyis a 13. elvétel előtt a tallérok száma már kétjegyű kellett legyen. Egy 9-cel osztható kétjegyű számban a számjegyek összege 18 (ha a szám a 99) vagy 9 (minden más esetben). Mivel \(\displaystyle 99-(9+9)=81\), ezért amíg hátulról haladva el nem érünk a 81-ig, minden lépésben 9 tallért vettek el. Vagyis \(\displaystyle a_{13}=9+9=18\), és ugyanígy tovább haladva:

\(\displaystyle a_{12}=27, a_{11}=36,a_{10}=45,a_9=54,a_8=63,a_7=72,a_6={81}.\)

Az 5. elvétel előtt még meglévő tallérok száma csak 90 vagy 99 lehet. Ha \(\displaystyle a_5=90\) lenne, akkor \(\displaystyle a_4\) értéke csak 99 lehetne, viszont 99 tallérból nem 9-et, hanem 18-at kellene elvenni, így ez az eset nem lehetséges. Tehát \(\displaystyle a_5=99\). Ezért \(\displaystyle a_4=\overline{b_2b_1b_0}\) egy háromjegyű szám, melyre \(\displaystyle 99b_2+9b_1=99\). Mivel \(\displaystyle b_2\geq 1\), ezért \(\displaystyle b_2=1,b_1=0\). Továbbá \(\displaystyle 9\mid a_4\) miatt csak \(\displaystyle b_0=8\) lehet, tehát \(\displaystyle a_4=108\). Az \(\displaystyle a_1,a_2,a_3\) számokról könnyen látható, hogy háromjegyűek, hiszen ha \(\displaystyle a_1\) legalább négyjegyű lenne, akkor a korábbiak szerint az első háromjegyű tallérszám a 999 lenne, onnantól pedig minden lépésben legfeljebb 27 tallért vennének el a rablók, aminek \(\displaystyle a_4=108\) ellentmond. így a 3. lépésben \(\displaystyle 9,18\), vagy 27 tallért vett el a soron következő rabló, azonban \(\displaystyle 108+9=117,108+18=126,108+27=135\) miatt csak \(\displaystyle a_3=117\) lehetséges. Ehhez hasonlóan \(\displaystyle a_2\in\{117+9,117+18,117+27\}\), és a három lehetőség közül csak \(\displaystyle a_2=126\) lehetséges. Azt már tudjuk, hogy az osztozkodás végén a 2., 3., 4., 6. és 7. rablóknak 18 tallérja lett, az 5.-nek pedig 27. így a vezér – amennyiben a feladatban szereplő osztozkodás egyáltalán előfordulhat – biztosan az 5. a névsorban. Mivel a többieknek egyformán 18 tallérja kell legyen a végén, ezért ez pontosan akkor fordul elő, ha első lépésben is 9 tallért vett el a névsor szerinti első rabló, vagyis \(\displaystyle a_1=126+9=135\). Mivel \(\displaystyle 1+3+5=9\), ezért ez valóban megvalósulhatott.

Tehát a vezér az ötödik a névsorban.


Statistics:

220 students sent a solution.
4 points:109 students.
3 points:63 students.
2 points:18 students.
1 point:26 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017