Problem B. 4895. (October 2017)
B. 4895. Prove that if \(\displaystyle n-1\) and \(\displaystyle n+1\) are both primes and \(\displaystyle n> 6\) is an integer then \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) is divisible by 720.
English competition problem
(3 pont)
Deadline expired on November 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel a 720 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 720=2^4\cdot 3^2 \cdot 5\), ezért (a számelmélet alaptétele szerint) elegendő belátnunk, hogy \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) osztható a \(\displaystyle 2^4,3^2,5\) számok mindegyikével. Mivel \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) prímek, továbbá \(\displaystyle n>6\), ezért \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók, így viszont \(\displaystyle n\)-nek mind 2-vel, mind 3-mal oszthatónak kell lennie. Mivel \(\displaystyle n\) páros, ezért \(\displaystyle 4\mid n^2\) és \(\displaystyle 4\mid n^2+16\), vagyis \(\displaystyle 2^4\mid n^2(n^2+16)\). Mivel \(\displaystyle 3\mid n\), ezért \(\displaystyle 9\mid n^2\), és így persze \(\displaystyle 9\mid n^2(n^2+16)\) is teljesül. Mivel \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) számok 5-nél nagyobb prímek, ezért az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka csak 0, 2 vagy 3 lehet. Ha \(\displaystyle 5\mid n\), akkor \(\displaystyle 5\mid n^2(n^2+16)\), sőt valójában \(\displaystyle 5^2\mid n^2(n^2+16)\) is igaz. Ha az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 2 vagy 3, akkor az \(\displaystyle n^2\) számé 4, és így \(\displaystyle 5\mid n^2+16\), vagyis \(\displaystyle 5\mid n^2(n^2+16)\) ekkor is fennáll.
Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle 2^4,3^2,5\) mind osztják az \(\displaystyle n^2(n^2+16)\) számot, ezért az valóban osztható 720-szal.
Statistics:
221 students sent a solution. 3 points: 199 students. 2 points: 10 students. 1 point: 10 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017