Problem B. 4897. (October 2017)

B. 4897. Given \(\displaystyle n\) points in the plane, show that it is possible to select three, denoted by \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\), such that \(\displaystyle \angle ABC\le 180^\circ /n\).

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Feltehető, hogy a pontok közül semelyik három nem kollineáris, különben lenne \(\displaystyle 0^\circ\)-os szög is. Legyen a pontok konvex burkának három egymást követő csúcsa (ebben a sorrendben) \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\). Ha \(\displaystyle ABC\angle\geq 180^\circ-2\cdot 180^\circ /n\), akkor \(\displaystyle ACB\angle\) vagy \(\displaystyle CAB\angle\) megfelelő, különben az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\)-nál nagyobb lenne. Egyébként \(\displaystyle B\)-t a maradék \(\displaystyle n-3\) ponttal összekötve az \(\displaystyle ABC\) szöget \(\displaystyle n-2\) részre bontjuk. Ezek közül a legkisebb legfeljebb \(\displaystyle (180^\circ-2\cdot 180^\circ /n)/(n-2)=180^\circ /n\).

Statistics:

122 students sent a solution.
4 points:	94 students.
3 points:	10 students.
2 points:	10 students.
1 point:	2 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017